基于函數極值原理求解回轉體復雜相貫極值點

宋超

（成都紡織高等專科學校機械工程學院，成都611731）

1 引 言

在化工、食品、給排水、礦山等行業的機械設計制造中，常常會遇到各種管體相交的情況，在這些相交的管體中，柱形體、錐形體、球形體相交是相對比較復雜的管體相交形式，我們可以把他們變成畫法幾何問題中的回轉體相貫問題。在這些相貫問題中，如何準確確定相交處輪廓的極限點，對獲得準確的相交線，保證制造的零部件連接緊密，外形整齊，應力均勻，使用可靠，都具有很關鍵的作用。一般在討論這類問題時，由于精確確定極限點位困難較大，因此往往都是用求一般位置點的作圖方法近似獲得，準確性較差。本文將通過數學方式討論回轉體復雜相交極限點的確定，通過數學模型的建立，找到精確作圖的基本依據，從而保證這類問題的精確求解。

2 情況分析

現實中復雜相貫的情況大致有如下幾種：圓柱類型體與圓錐類型體相貫；圓柱類型體與球體相貫；圓錐類型體與球體相貫。其復雜相貫位置如圖1。

圖1

由圖1 可知，幾個問題的關鍵都是極限點位的確定，都有其共性的問題，只要確定了極限點位，一般點位都可通過待定法準確得出。本文以圓柱、圓錐相貫為例進行討論，建立數學模型解決相貫線上極限點位，通過此模型獲得其它復雜相關問題的解決思路。

3 問題討論

以柱錐正交相貫為研究對象，如圖2（a），柱錐正交相貫可能位置從O1位變化到O2位，無論在那個位置，兩者在空間都形成一條三維相貫線。按圖2（b）建立坐標系，可以知道這個三維的相貫線，如按空間方位來研究，一定存在六個方向的極限位置，現按圖2（b）進行投影，可獲得這個空間曲線在二維坐標體系中的曲線圖。按正投影的規律，這個三維空間曲線的方位極限位置，將在這個二維坐標體系中體現出來。以正面投影角度來看，這個方位極限位，在這個投影面中代表的就是d、e、f、g，也就是最上、最下、最左、最右，最上、最下點比較容易理解，此處不討論，最左、最右點實際存在卻很難確定。仔細觀察這兩個極限點的特征我們可以發現，在此坐標體系下，這兩個極限點實際上就是曲線在x 軸方向的最大值和最小值。

為便于計算，將坐標體系按圖3 重新構建，在此坐標體系下，最左、最右點的位置是沒有變化的，其基本含義仍然是函數的極值問題，下面我們將對這兩個極限點的數學求解進行研究。

圖2

圖3

4 問題求解

按圖3 坐標構建方程，設圓柱、圓錐方程如下：

以圖3 坐標體系為研究對象，可以確定圓柱、圓錐的相貫線最左、最右點，就是相貫曲線在xoz 坐標面內在x方向的最大、最小自變量極值。下面求相貫曲線在xoz 坐標面內的函數關系式。

這是個多元函數，可表示為F（x，z）＝0。對于單調函數中，求函數極值的基本原則是：當函數的一階倒數為零、二階倒數為小于零的點為極大值，一階倒數為零、二階倒數大于零的點為極小值，這兩個基本條件可以表示如下式：

（1）若f′（xo）=0，f″（xo）<0，則f（xo）為極大值，也就是最左點。

（2）若f′（xo）=0，f″（xo）>0，則f（xo）為極小值，也就是最右點。

以最右點求解為研究對象，根據圖3 所示，在xoz 坐標系下，求相貫線的最右點就是求x 的最小值，按照極值的判定原則，令函數F 求x 對z 的導數，求得一階導數為零，二階導數小于零的z 值位置，就可以確定x 的最小值，也就是相貫線的最右點，對于最左點思路相同，這里就以最右點為例討論。

對式（3）求x 對z 的倒數并令一階導數為零，可得：

由式（5）、式（6），并結合圖3、圖4 則可以確定kzd/（b-zd）=（a+o2F）/EF=cotα；EF/o2F=k=tan（θ/2）。于是可以得到判定相貫線上極值點的基本數學式為：yd=cotα·tan（θ/2）·，對式（4）求二階導數并代入極值點坐標化簡后可得下式：

則D 點即為所求，按以上推導可以確定D 在數學理論上是準確的最右點。求出側面投影后再根據投影原理作出正面及水平面上的投影，則柱體與錐體的垂直相貫最右點得解，作圖過程如圖5。

對于最左點的研究思路類似，這里不再進一步推導。

圖4

圖5

5 結 語

管道輸送上經常要處理多通情況，各管路相交會形成復雜空間相貫線，如何切割出理想的相貫線，只對一般點用離散方法制作無法獲得良好的接縫，一定要對極限特殊點位精確求解，因此對極限特殊點位必須給出精確求解的理論依據和方法。本文針對回轉立體垂直相貫形成的復雜相貫線為基本內容，研究相貫線在笛卡爾坐標體系下的數學極值求解方法，通過極值點數學判定準則，求解了相貫線最右點判定公式，并依據該判定公式來確定最右點圖形求解的方法，對相貫線的精確圖解法找到了數學依據。本文雖只針對極小值（也就是最右點）進行了推導，但其基本思路和方法適合于所有極限點的求解，具體應用中只要明確其坐標的構建方法，依據坐標體系確定極值出現的坐標軸，根據坐標軸確定求導，確定極值點位置，同時根據所得結果進行投影對應研究，找到與之相對應的圖解法。

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