基于有限元的泵曲軸疲勞強(qiáng)度計(jì)算

周志剛， 周燕

（勝利石油管理局 鉆井工藝研究院，山東 東營(yíng)257017）

1 引 言

泵曲軸是往復(fù)泵中核心的運(yùn)動(dòng)部件，一般對(duì)其進(jìn)行無(wú)限壽命設(shè)計(jì)，它受力復(fù)雜，工作中承受交變的彎曲、扭轉(zhuǎn)的復(fù)合應(yīng)力作用，如設(shè)計(jì)不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致疲勞破壞，這也是它發(fā)生破壞的典型形式。為了保證其疲勞強(qiáng)度，須進(jìn)行準(zhǔn)確的分析計(jì)算。

曲軸外形和受力復(fù)雜，且受多約束的情況下，傳統(tǒng)的公式計(jì)算和編程計(jì)算，或過分簡(jiǎn)化，或無(wú)法計(jì)算，即使經(jīng)簡(jiǎn)化，其計(jì)算過程仍十分繁雜，計(jì)算量大，反復(fù)性強(qiáng)，可靠性差，很可能因?yàn)樵O(shè)計(jì)計(jì)算錯(cuò)誤，引發(fā)軸裂、軸斷事故。因此，探索一種準(zhǔn)確、快捷、直觀的曲軸疲勞強(qiáng)度分析方法很有意義。本文應(yīng)用有限元方法和彎扭合成疲勞安全系數(shù)法，計(jì)算出曲軸在不同工作位置下其應(yīng)力的分布，同時(shí)分析出曲軸在圓角處產(chǎn)生的應(yīng)力集中現(xiàn)象，對(duì)曲軸的疲勞強(qiáng)度計(jì)算行之有效。

2 泵曲軸的有限元分析

2.1 曲軸的結(jié)構(gòu)

泵為一個(gè)三缸單作用活塞泵，它的曲軸外形如圖1 所示，曲軸是3 拐4 支承軸（圖中引線處為4 個(gè)支撐的位置），3 個(gè)曲拐分別相差120°，從左至右依次是曲拐A、曲拐B、曲拐C，曲拐兩側(cè)的巴掌從左至右依次是巴掌1 到巴掌6。整體上，曲軸的外形復(fù)雜，圓角較多，且部分地方是變徑圓角，為了保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，在有限元計(jì)算的建模中將保留必要的圓角。

圖1 曲軸外形圖

2.2 分析中曲軸受力相關(guān)假設(shè)

假設(shè)泵在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，活塞在吸入行程和排出行程的壓力恒定為：吸入壓力：0MPa，排出壓力：8MPa。實(shí)際上在泵工作的過程中，吸入及排出壓力均存在波動(dòng)，但這種波動(dòng)范圍較小，這種假設(shè)不會(huì)對(duì)計(jì)算產(chǎn)生大的誤差，是合理的。

2.3 曲軸的受力及疲勞危險(xiǎn)點(diǎn)分析

曲軸上的3 個(gè)曲拐以旋轉(zhuǎn)軸線為中心，在圓周均勻分布，互成120°角，每個(gè)缸的曲拐、連桿和活塞的運(yùn)動(dòng)形式可簡(jiǎn)化為對(duì)心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)［1］，如圖2 所示。以輸入端的曲拐A 作為參考，根據(jù)參考文獻(xiàn)［2］敘述的方法，在受力分析過程中，考慮活塞、連桿及十字頭的慣性力、十字頭與導(dǎo)套之間的摩擦力。

圖2 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的工作原理圖

圖3 三連桿的作用力圖

圖4 曲軸扭矩圖

活塞上的液體壓力；各摩擦部位（活塞與缸套、十字頭與滑道、連桿大小頭的鉸點(diǎn)等）的摩擦力；曲柄連桿機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)部件的慣性力以及曲柄上的旋轉(zhuǎn)力矩等。

忽略介質(zhì)的部分流體特性，忽略閥堵的滯后動(dòng)作，認(rèn)為泵的輸出壓強(qiáng)、輸入壓強(qiáng)分別保持8MPa、0MPa 無(wú)波動(dòng)。建立以速度為條件的分段函數(shù)來模擬阻力大小，液體在液缸內(nèi)產(chǎn)生的阻力［2］：

推導(dǎo)出連桿A 的受力公式［2，3］為:

式中：m 為活塞+活塞桿質(zhì)量+介桿的質(zhì)量+十字頭質(zhì)量+27%連桿質(zhì)量，kg；PA為連桿A 的連桿力，N；Dg為活塞直徑，300mm；PN為泵壓，8MPa；Py為流體施加的壓力；f 為十字頭與導(dǎo)套之間的摩擦系數(shù)（鋼對(duì)鑄鐵的摩擦系數(shù)為：取為0.17）；a 為柱塞的加速度。

由于3 個(gè)曲拐與曲軸中心成120°對(duì)稱分布,故曲拐B和曲拐C 的受力與曲拐A 之間分別存在120°和240°的相位差。根據(jù)PA可推導(dǎo)出PB、PC的計(jì)算公式。經(jīng)計(jì)算可作出如圖3 的三連桿的作用力圖［4］（下面函數(shù)圖形同文獻(xiàn)［4］吻合），從圖中可以看出，三連桿作用力在泵運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中，交替變化。

曲軸上作用的扭矩計(jì)算：除了從輸入聯(lián)軸器傳遞過來的扭矩外，曲軸所受到的作用力中，只有連桿對(duì)它的作用力產(chǎn)生扭矩。因此根據(jù)已經(jīng)求出的連桿力，可計(jì)算出3個(gè)連桿力施加給曲軸的總扭矩M合。M合＝MA＋MB＋MC，具體的公式如下：

利用式（5），帶入具體的數(shù)據(jù)，可分別計(jì)算出曲軸上不同位置的扭矩值，如動(dòng)力輸入端和曲拐A 之間即為MA+MB+MC，曲拐A 和曲拐B 之間為MB+MC，曲拐B 和曲拐C 之間為MC。其值及變化見圖4，從圖中可以看出：（1）曲軸的扭矩呈有規(guī)律的波動(dòng)或脈動(dòng)，從動(dòng)力輸入端到曲拐C，波動(dòng)的幅度階梯增加，但頻率減小，這種變化反映在曲軸上，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力交變，是曲軸疲勞的來源之一；（2）越接近曲軸輸入端，扭矩變化越平穩(wěn)。在第3 軸頸和第2 軸頸處，扭矩上下變化的幅值未發(fā)生變化，但作用的時(shí)間有變化，相應(yīng)在曲軸的第二曲拐和第三曲拐處將由于扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力幅，產(chǎn)生疲勞的可能性相對(duì)較大；（3）泵在工作的過程中，扭矩的輸入也是波動(dòng)的，只是在輸入端波動(dòng)幅值相對(duì)較小，但一直處于較高的水平，出現(xiàn)疲勞失效也有可能。

可見，曲軸受到交變的橫力和扭矩作用，在整根曲軸上均會(huì)出現(xiàn)交變的應(yīng)力，疲勞危險(xiǎn)點(diǎn)不能完全根據(jù)傳統(tǒng)的方法進(jìn)行確定。

2.4 曲軸有限元模型

由于曲軸的破壞一般發(fā)生在曲拐的圓角處，為了方便進(jìn)行有限元建模及節(jié)省計(jì)算資源，在進(jìn)行有限元分析的建模中，將輸入鍵槽、軸兩端的倒角省略，其余圓角保留，這將有利于分析中更突出關(guān)鍵圓角對(duì)曲軸的影響。

2.5 有限元模型的建立

將曲軸三維模型導(dǎo)入ANSYS有限元軟件，輸入前處理數(shù)據(jù)，彈性模 量202GPa，泊松比0.3，密度7800kg/m3。對(duì)曲軸進(jìn)行網(wǎng)格劃分得單元模型，在單元?jiǎng)澐值倪^程中，盡可能使用六面體單元，并將六面體退化到四面體的單元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使計(jì)算的精度和速度得到加強(qiáng)。得到有限元單元模型如圖5 所示。

圖5 曲軸有限元單元模型

2.6 模型加載

曲軸在運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中，受如下力的作用：（1）軸端輸入扭矩，（2）連桿作用力（交變作用力），（3）各軸頸的支承力（均為調(diào)心軸承），（4）旋轉(zhuǎn)離心力，（5）重力。

除以上5 種作用力外，當(dāng)然還有軸孔不同心造成的曲軸裝配應(yīng)力以及溫度變化產(chǎn)生的熱應(yīng)力，這些力隨機(jī)性強(qiáng)，計(jì)算中不予考慮。對(duì)于旋轉(zhuǎn)離心力，由于轉(zhuǎn)速很小，予以忽略；對(duì)于曲軸的重力，在模型中施加重力加速度載荷；對(duì)于軸端輸入扭矩，它同連桿作用力產(chǎn)生的反扭矩相互抵消，可以將載荷轉(zhuǎn)化為圓柱面上的切向約束；對(duì)于各軸頸的支承力，可以將載荷轉(zhuǎn)化為相關(guān)偶合節(jié)點(diǎn)的球面約束（調(diào)心軸承允許有角位移）；對(duì)于連桿作用力，作用在圓柱面上，其力在圓柱面上的分布在軸向滿足二次拋物線規(guī)律分布，徑向在120°范圍內(nèi)按余弦規(guī)律分布，分布函數(shù)如式（6）。

式中：Qc為作用在連桿軸頸上的總載荷；l 為連桿軸頸上的承載長(zhǎng)度，取值為［-L、L］；θ 為范圍為［-60°，60°］；R 為軸頸半徑。

力分布如圖6 所示。將作用在連桿軸頸上的總載荷Qc通過程序加載施加于曲軸的軸頸上，所加載荷顯示如圖7所示，圖中采用的是矢量顯示，箭頭越長(zhǎng)，則受力越大。

圖6 圓柱面受軸承載荷下力的分布

2.7 有限元求解及結(jié)果分析

圖7 連桿力的加載顯示

選擇重要的曲軸受力轉(zhuǎn)角，并使各轉(zhuǎn)角分布于360°圓周內(nèi)（按連桿力及扭矩合成的極值情況，選0°、85°、100°、120°、205°、220°、240°、325°、340°為關(guān)鍵轉(zhuǎn)角），對(duì)于不同轉(zhuǎn)角，將曲軸按受力進(jìn)行加載，對(duì)加載模型設(shè)好求解器，求解得到不同轉(zhuǎn)角下的曲軸應(yīng)力解。部分結(jié)果應(yīng)力云圖如圖8 所示。

圖8 不同轉(zhuǎn)角下曲軸mises 應(yīng)力

通過顯示結(jié)果，可知曲軸在一轉(zhuǎn)內(nèi)，不同的轉(zhuǎn)角下，曲軸整體受到的mises 應(yīng)力都較小，最大只有60MPa 左右，出現(xiàn)在動(dòng)力輸入端部圓角，此處應(yīng)力變化相對(duì)較小，相對(duì)于材料的屈服極限540MPa，不會(huì)發(fā)生屈服失效，對(duì)于曲軸的其它地方，盡管所受到的mises應(yīng)力較小，但交變應(yīng)力幅較大，可能發(fā)生疲勞，特別是應(yīng)力云圖顯示，發(fā)生極值應(yīng)力的地方均在曲軸的圓角處，很明顯在圓角處產(chǎn)生了應(yīng)力集中，需要對(duì)相關(guān)的圓角特別關(guān)注。

從應(yīng)力云圖可以看出，由于曲軸受力的變化，將在曲拐不同的部位產(chǎn)生極值應(yīng)力的交替變化，極值應(yīng)力均發(fā)生在曲拐?qǐng)A角過渡處。

進(jìn)一步對(duì)曲軸的各個(gè)曲拐?qǐng)A角進(jìn)行分析，直觀了解其發(fā)生局部最大應(yīng)力的部位。以205°轉(zhuǎn)角下各個(gè)曲拐巴掌為例，將各個(gè)巴掌的云圖進(jìn)行顯示，如圖9 所示。可見各個(gè)曲拐巴掌應(yīng)力的極值均發(fā)生在曲拐巴掌圓角處，只是位置不同，但均處于巴掌的中心附近，對(duì)于其它的轉(zhuǎn)角也有相同的結(jié)果(同參考文獻(xiàn)［5］吻合)，這說明在曲軸上各圓角處為疲勞危險(xiǎn)部位。

圖9 在205°轉(zhuǎn)角下曲拐巴掌mises 應(yīng)力

3 曲軸的疲勞強(qiáng)度計(jì)算

明確曲軸上各圓角處為疲勞危險(xiǎn)部位，將不同關(guān)鍵轉(zhuǎn)角下，曲軸上各圓角處應(yīng)力全部計(jì)算出，并找出不同的圓角mises 極值應(yīng)力的發(fā)生節(jié)點(diǎn)號(hào)，這些節(jié)點(diǎn)為可能發(fā)生疲勞的位置。將這些節(jié)點(diǎn)由于橫力產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力和由于扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的剪應(yīng)力在曲軸不同轉(zhuǎn)角下的值進(jìn)行提取，得到關(guān)注節(jié)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力σ 和剪應(yīng)力τ 的值。提取方法如下：

（1）在不同轉(zhuǎn)角下，提取可能發(fā)生mises 應(yīng)力極值的節(jié)點(diǎn)，ANSYS 命令流如下：

（2）在不同轉(zhuǎn)角下，提取關(guān)注節(jié)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力σ 及剪應(yīng)力τ 的值，ANSYS 命令流如下：

通過比較并計(jì)算得到各節(jié)點(diǎn)的σmax、σmin、τmax、τmin、σm、σa、τm、τa，部分值見表1（由于節(jié)點(diǎn)較多，僅列出部分節(jié)點(diǎn)）。表中：σmax、τmax為最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力，σmin、τmin為最小正應(yīng)力和剪應(yīng)力，σm、τm為平均正應(yīng)力和剪應(yīng)力，σa、τa為正應(yīng)力和剪應(yīng)力應(yīng)力幅。

表1 部分關(guān)注節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值

曲軸的疲勞安全系數(shù)計(jì)算采用彎扭合成的疲勞安全系數(shù)法［6，7］，計(jì)算公式如下：

nστ：彎扭組合交變應(yīng)力下，軸的工作安全系數(shù)；nσ：對(duì)稱彎曲安全工作系數(shù)；nτ：非對(duì)稱扭轉(zhuǎn)安全工作系數(shù)；σ-1：對(duì)稱彎曲疲勞極限；τ-1：對(duì)稱扭轉(zhuǎn)疲勞極限；kσ、kτ：彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)曲軸的疲勞缺口因數(shù)；εσ、ετ：尺寸系數(shù)（在曲軸中兩參數(shù)均為ε）；ψσ、ψτ：材料對(duì)應(yīng)力循環(huán)不對(duì)稱的敏感因數(shù)；β：表面質(zhì)量系數(shù)（軸采用的是磨削工藝，所以β=1）。

按疲勞安全系數(shù)公式可以求得曲軸上各關(guān)注節(jié)點(diǎn)的疲勞安全系數(shù)。部分結(jié)果如表2 所示（由于節(jié)點(diǎn)較多，僅列出一部分，列出部分包含彎扭合成疲勞安全系數(shù)最小值）。

表2 部分關(guān)注節(jié)點(diǎn)的疲勞安全系數(shù)

由表2，此曲軸疲勞安全系數(shù)最小值為4.59，發(fā)生在第三曲拐的圓角過渡處，按中國(guó)機(jī)械設(shè)計(jì)大典［7］，在材質(zhì)均勻，載荷計(jì)算精確下，疲勞強(qiáng)度的許用安全因數(shù)取值為1.3～1.5，相比可知，曲軸不會(huì)發(fā)生疲勞失效。

4 結(jié) 論

（1）此活塞泵曲軸在工作的過程中，整體應(yīng)力值水平較低，不會(huì)出現(xiàn)屈服，也不會(huì)發(fā)生疲勞；

（2）最大應(yīng)力點(diǎn)都是在靠近主軸軸心方向的半個(gè)圓角面出現(xiàn)，最大應(yīng)力值相對(duì)比較集中，必須在曲軸的設(shè)計(jì)上盡量放大圓角值；

（3）對(duì)于復(fù)雜受力的曲軸，本文介紹的疲勞強(qiáng)度計(jì)算方法，原理簡(jiǎn)單，過程清晰、可靠性強(qiáng)，可以作為相似計(jì)算的參考，對(duì)目前大功率往復(fù)泵的開發(fā)具有現(xiàn)實(shí)意義。

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