內圓外正四邊形同軸線內TEM波的場結構及其特性阻抗*

王福謙

(長治學院電子信息與物理系，山西長治046011)

為了傳輸微波功率，人們提出并實現了各種結構形式的傳輸線(即特種截面同軸傳輸線)，例如，由圓柱體和正N邊形組成的同軸傳輸線，它可以與普通同軸線實現寬帶匹配，用它作定向耦合器比普通同軸線更便于工程設計。由于圓柱和正N邊形不屬于同一正交坐標系，所以嚴格求解比較困難。目前文獻［1-3］中多報道的是特種截面傳輸線特性阻抗的計算，而對其內部TEM波的場結構研究還未見涉及。鑒于特種截面傳輸線TEM波場結構在工程上的重要性，本文擬利用數值保角變換法研究內圓外正四邊形同軸傳輸線內TEM波的分布規律，繪制出其橫截面上的場結構圖，并給出特性阻抗的計算公式。

1 內圓外正四邊形同軸傳輸線橫截面的變換

圖1為內圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，其幾何結構尺寸如圖中所示。在d/b不大時，可通過變換函數式(1)［4］，將z平面上的內圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，變換為w平面上的兩同心‘準圓’，圖2中實線部分。

圖1 變換前的內圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

圖2 變換后的內圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

變換后w平面上內‘準圓’的半徑為

由圖1中的幾何尺寸，可得正四邊形的內切圓和外接圓的幾何平均半徑為

故變換后w平面上兩同心‘準圓’中外‘準圓’的半徑(與圖2中圓周為灰色線的圓對應)為

經上述數值保角變換后，z平面上的半徑為d/2的圓和內切圓半徑為b/2的正四邊形，就映射為w平面上半徑為r1和平均半徑為r2兩同心‘準圓’(見圖2)。由于在w平面上傳輸線內導體的橫截面的形狀近似為兩同心圓，其內部電磁場在該截面上的分布近似呈中心對稱性，故在w平面上可近似地按圓同軸傳輸線的情形來討論TEM波的分布規律，再根據變換關系最終得到內圓外正四邊形同軸傳輸線中TEM波的近似解。

2 TEM波的電場和磁場的分布

內圓外正四邊形傳輸線中的TEM波的求解，可由靜態場在相同邊界條件下的解得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程得到其磁場的解［5］。

設內圓外正四邊形傳輸線內、外導體之間的電壓為V0e-jβz，由于保角變換并不能改變內、外兩導體之間的電壓，故對靜態場而言，變換后的近似同軸傳輸線(內、外半徑近似為r1和r2)內、外兩導體間的電壓仍為V0。

對同軸傳輸線，其中的電場分布是徑向的［6］，大小與半徑成反比。即

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場幅值有關的常數。

其中

因此，內圓外正四邊形同軸線中的TEM波的電場強度為其中|w|為w平面上場點的矢徑大小。

式(4)中的雅可比橢圓函數用傅里葉級數表達為［7］2)。對應于將

其中上述表達式及數據代入式(4)，且z=x+iy，有

其中

β為沿傳播方向ez上的相位常數，對于TEM模，波數為工作頻率)，ex、ey為圓內外正四邊形同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱軸方向的單位矢。

TEM波的電場與磁場由麥克斯韋方程組相互聯系，滿足如下規律［5］

由式(6)、式(8)，得

式(6)、式(9)為內圓外正四邊形同軸傳輸線中為TEM的波近似表達式。利用式(6)、式(9)還可求得該傳輸線的傳輸功率［8］。

圖3為利用數學軟件MATLAB所繪制出的內圓外正四邊形傳輸線橫截面上的TEM波的場結構圖。從該圖可以看出，傳輸線內導體表面附近以外的電場在此傳輸線橫截面上的分布呈現出中心對稱，作出的圖與預期結果(電場線與磁感線垂直)基本相符，將雅可比橢圓函數展開式中所取的項數再多些，邊界處的場分布符合得會更好些。其中d=2 cm、b=4 cm。

圖3 內圓外正四邊形傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖圖

3 特性阻抗

傳輸線的特性阻抗Z0與單位長度電容C0的關系為［9］

式中ε和μ為傳輸線內填充介質的介電常數和磁導率。

經變換式(1)、式(2)和式(3)，內圓外正四邊形同軸線的橫截面已映射為半徑分別為r1和r2兩近似同心圓，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內、外半徑分別為r1和r2同軸傳輸線的電容值，方便地求出此傳輸線的特性阻抗的近似值。需要說明的是，由于電荷的角效應，外導體內棱角處電荷密度小，而每邊中點處的電荷密度大。對變換后的圖2而言，內圓柱導體與無電荷角效應的外切圓弧之間的電容，要比其與內切圓弧之間的電容要小。所以，對于用內切圓和外切圓

將r1、r2的數值代入上式，得內圓外正四邊形同軸傳輸線單位長度的電容量為的邊界尺寸取幾何平均來“逼近”變換后的多邊形外導體邊界，由于交替出現了電容增大和電容減小的情況，故對計算總平均電容來說，電荷角效應的影響很小。因此，用本文下面將給出的方法計算出的電容值，可作為內圓外正四邊形同軸傳輸線電容的近似值，其精確度較高。

圓同軸傳輸線單位長C0度的電容為

則內圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗為

當傳輸線內為真空或空氣時，上式中的電磁參量分別取 ε0和 μ0。

式(13)即為內圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗的近似計算公式。

4 結束語

本文采用數值保角變換法對內圓外正四邊形同軸傳輸線進行了研究，給出了該傳輸線內TEM波的近似解析解，這種方法物理意義明確、計算簡單，所得結論可用于計算該傳輸線的傳輸功率、計算其衰減常數及設計有關的有源器件等。再者，由于新的敏感材料的出現和生物醫學工程的發展，也需要研究各種傳輸線所產生的電磁場，所以，本文所得結論具有一定的和理論價值和實際意義。

［1］曾令儒.特種截面傳輸線特性阻抗計算的一種方法［J］.物理學報，1982，31(6):709-721.

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［5］沈熙寧.電磁場與電磁波［M］.北京:科學出版社，2006:375-381.

［6］路宏敏，趙永久，朱滿座.電磁場與電磁波基礎［M］北京:科學出版社，2006:322-325.

［7］王竹溪，郭敦仁.特殊函數概論［M］北京:北京大學出版社，2000:556-559.

［8］沈熙寧.電磁場與電磁波［M］北京:科學出版社，2006:385-386.

［9］朱滿座.數值保角變換及其在電磁理論中的應用.［DB/OL］.(2008-12-01):http//www.cnki.net/kcms/detail/detail/aspx.100-117.