高斯束展開法的注記:指向性和輻射阻抗的簡化計算*

章力軍，丁德勝

(1.靖江市計量測試技術研究所，江蘇靖江214500;2.東南大學電子科學與工程學院，南京210096)

聲波和電磁波的一些輻射或衍射問題可歸結于菲涅爾(Fresnel)場積分的求解。例如，超聲換能器輻射聲場;激光束經過光闌或孔徑后的光場分布。然而，在大多數情況下，這一公式是一個二維的、強烈振蕩的積分，沒有解析形式的解。聲場分布通常只能用數值逐點積分或級數展開來計算，計算十分復雜。

高斯束(一般也稱基函數或高斯函數)展開方法已廣泛應用于快速計算菲涅爾場積分，即聲場分布的計算。這種方法的實質是將菲涅爾場積分展開為一系列簡單的基本函數的疊加，因而復雜的數值積分簡化為一些簡單函數(如 Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函數等)且項數不多的計算［1-5］，計算量大為降低［1-22］。有關這一方法的詳細描述可以參考綜述文獻［22］。

本文給出高斯函數展開法的進一步推廣。將文獻中的圓形或矩形函數的高斯函數近似展開作為已知的結果，通過簡單的數學變換，將貝塞爾函數和一階Struve函數等特殊函數表示成高斯函數或其他簡單函數的疊加。利用這一方法，計算了聲學中一類活塞型聲源的指向性函數以及均勻活塞的輻射阻抗函數。與直接計算特殊函數值相比，我們的方法給出了相當一致的結果。本文的方法是文獻［20-21］研究結果的一種直接推廣，作為我們一系列研究報告的一部分。

1 菲涅爾場積分和高斯展開法

在菲涅爾近似或傍軸近似下，圓形軸對稱分布的聲源的輻射聲場可表示為［20-21］

這里，無量綱徑向坐標ξ=r/a和η=z/r0.r和z對應為圓柱坐標系中的徑向和軸向坐標。瑞利距離定義為r0=ka2/2，菲涅爾距離z0=a2/λ，且r0=πz0.k是波數，λ表示波長。a為聲源的特征半徑。對于實際的聲源，a一般取換能器的半徑.式(1)中的傳播因子 exp［-i(ωt-kz)］已省略.

Wen 和 Breazeale［4-5］將式(1)中的源分布函數展開成一系列高斯函數的疊加，即

其中Ak和Bk稱之為展開系數和高斯系數。對于一給定的源函數，系數Ak和Bk可以用計算機最優化方法來求得。一旦得出這些系數，則場積分化為一組高斯束的疊加:

其中

為高斯聲源exp(-Bkξ2)的場分布。

Wen和Breazeale給出了兩個經典的例子，其中之一為圓形均勻活塞聲源的一組展開系數(N=10)［4］。利用這組10項高斯函數，能以相當高的精度計算出圓形均勻活塞的聲場分布。在整個聲場區域中，除了極靠近聲源的近場(＜0.12倍的菲涅爾距離)有一定的誤差外，高斯函數展開方法所得結果，與直接數值積分計算結果符合很好［4］。

數學上，這一工作意味著圓形函數

可以在整個［0，+∞)區間上展開一系列高斯函數的近似疊加，即

除了上面提到的文獻［4］中的表1所列的一組展開系數，文獻［5，19］給出了另外兩組數據(項數稍多，一組15項，一組25項)。高斯近似展開式(6)在衍射理論中十分重要，可以簡化許多復雜問題的計算和分析［6-21］。

以下我們將展開式(6)看作一已知結果，給出一類活塞聲源指向性函數和均勻活塞聲源輻射阻抗的一種簡單的計算方法和結果。

2 指向性函數

根據定義，圓形軸對稱活塞聲源的輻射指向性函數與下面的積分直接相關:

式(7)即遠場近似下的夫瑯和費(Fraunhofer)衍射積分，可以看作傳播距離z或η足夠大(趨向無窮遠)時，式(1)的極限情形。如通常文獻中，式(7)中表示球面波擴散項 exp(iξ2/η)/(iη)已省略。

聲學中一類重要的活塞聲源的源函數可由下面的函數或這些函數的線性疊加來表示:

其中n=0對應于圓形均勻活塞聲源;n=1和n=2分別對應于最簡單的邊緣支撐和鉗定的活塞聲源。將式(8)代入式(7)，分步積分并利用貝塞爾函數的積分公式，可得

若以球坐標表示，2ξ/η=katanθ，上式可寫為

其中歸一化波數ka=2πa/λ，θ為方位角。

歸一化指向性函數為

式(9)和式(10)實際上為無限遠(離開聲源足夠遠)平面上的聲場分布，而遠場指向性函數是定義在無限大球面上的。故只需將式(10)中的正切函數換成正弦函數，即得指向性函數式(11)。當方位角不太大時，兩者差異并不大。

與文獻［20］中推導過程類似，將式(6)視作已知結果，利用傅立葉-貝塞爾變換，可得一般結果

這里要注意的是，式(12)中系數Ak和Bk與式(6)為同一組數據。必然要問式(12)右邊的展開精度如何?也就是說，在多大范圍內能以較高的精度匹配左邊的原函數。文獻［20］中的圖2給出了一個比較(ν=0，左邊即第一類零階貝塞爾函數J0)。10項高斯展開，在大約0～20區間上，與J0符合很好，相對誤差大約1%～2%。而另外一組15項的展開系數［5］在大約0～30的范圍內，可以更好地擬合J0。容易驗證，ν=1、ν=2的情形與此類似，擬合的區間稍有擴大。

圖1給出3種聲源的遠場指向性函數。圖中的曲線分別采用近似展開(12)和直接計算貝塞爾函數所得，可見兩種方法所得結果頗相符合。計算中所用的數據為文獻［4］中表1所列的一組10項展開系數。對于更大的ka值，如ka=100(主要出現在超聲場中)，這組展開系數，直到方位角θ≈15°的范圍，可以給出準確的指向性函數值。更大角度以外的指向性在超聲應用中已不重要。這組10項的展開系數可以滿足聲學工程中大多數的計算需要。

圖1 指向性函數ka=8

3 輻射阻抗

眾所周知，輻射阻抗是聲學中一個很重要的參量，即由于聲源振動，聲輻射引起的附加于聲源的力阻抗。在電聲器件的設計中，除了要知道電聲器件振動系統的力學參數如質量、彈性系數和力阻外，還必須知道由輻射聲場對聲源的反作用而產生的附加輻射阻和同振質量。

求聲源的輻射阻抗，實際上即求聲源振動時，媒質中的輻射聲場對聲源的反作用力。除了少數幾種非常簡單的聲源，一般情況下，輻射阻抗的計算涉及到雙二重積分的求積，通常也是振蕩型積分。即便是一些分布和形狀的非常簡單的聲源，如矩形均勻活塞聲源，阻抗函數仍為二重振蕩型積分。

均勻圓形活塞的輻射阻抗，經前人的努力，歸結于阻函數和抗函數(歸一化的阻抗函數)的計算?；钊淖韬瘮?/p>

其中x=2ka。抗函數為

這里H1(x)為一階Struve函數，其積分表達式

當x＜1 或x＞10 時，可由式(13)、式(14)的級數展開和漸近展開得出簡單而有用的近似解。介于兩者之間，無簡單的解析近似解。鑒于Struve函數在衍射理論中十分重要，而文獻中關于這個函數的計算方法很少，我們給出1階Struve函數H1(x)的高斯展開。利用式(6)，經過一系列的推導，可以得出H1(x)的高斯函數展開(這里沒有直接寫出，很顯然由上面的式(14)和下面的式(16)可以得出)，而抗函數表示為

圖2給出了活塞的阻函數和抗函數計算結果。其中R1(x)分別采用近似展開(12)和直接計算貝塞爾函數所得，兩種方法所得結果頗相符合。對于抗函數X1(x)，我們把根據式(16)的計算結果，與課本［23］中x=0(0.5)20的數值相比較，相對誤差大約1%～2%。

圖2 活塞的阻函數和抗函數

4 結語

我們給出了高斯函數展開法的推廣，將圓形函數的高斯展開作為已知結果，通過簡單的數學變換，將貝塞爾函數和一階Struve函數表示成高斯函數的近似和。計算了聲學中一類活塞型聲源的指向性函數和活塞的輻射阻抗函數，與直接計算特殊函數的結果相比，我們的方法給出了相當一致的結果。可以指出的是，本文的方法也可應用于天線輻射等其他問題。一些天線的輻射指向性和阻抗函數，常?？杀硎緸橐恍┨厥夂瘮担靡恍祵W變換，這些特殊函數應當可以表示成式(6)或式(12)的類似形式，從而可以簡化計算和分析。最后我們指出，本文提供的這些例子，意味著現在的計算方法，可以作為特殊函數計算(精度要求不是太高)的補充。計算精度主要取決于式(6)的展開系數。作者希望我們的應用數學家給出具有更高精度的圓形函數的高斯展開系數。

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