凸顯幾何直觀的數學價值

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011版）》提出的數學課程十大核心概念之一，主要是指“利用圖形描述和分析數學問題。”“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”從過程而言，它與文字、數字、符號、表格等相區別，主要體現在“利用圖形”；從結果來說，“不同的學生具有不同的幾何直觀水平”，是一種靜態能力與數學素養的反應。幾何直觀素養的培養是一個長期、動態的過程，學生直接感知到的圖形并不一定就能產生“直觀”的效果，只有在學生主體認知水平和既有經驗積累達到一定程度而產生的“直觀”，才是具有教學價值的直觀。幾何直觀在學生數學學習過程中具有不可替代的作用：一方面，可以幫助學生直觀地理解數學，借助圖形，使得抽象的概念、算理、法則、公式變得形象、簡明；另一方面，也能培養學生利用幾何直觀發現問題、分析問題、簡化思路，尋求個性化數學思考的能力。幾何直觀不僅僅在“圖形與幾何”教學中具有重要的教學價值，在非幾何與圖形領域中，更能彰顯出它的教學價值來，因為，只有在非幾何與圖形領域的教學中，才能更好地培養學生的幾何直觀意識與能力，最終達到提升幾何直觀素養的目的。

一、 依托直觀支持，深化概念理解

對小學生而言，抽象的概念往往是學生理解、掌握知識的攔路虎。有的學生能把一些概念背得滾瓜爛熟，但一到應用時就漏洞百出。因此，教學中應摒棄讓學生死記硬背抽象概念的做法，采取概念、定理、性質等與幾何直觀圖相結合的方法，展示概念的實質內涵，化抽象為具體，化復雜為簡單，輕松突破學生在概念理解上的難點。

蘇教版四年級下冊P54“乘法分配律”的教學，教材設計通常讓學生分別計算一組形如（65+45）×5，65×5+45×5的計算題，由結果相等得出（65+45）×5=65×5+45×5，進而得出 “乘法分配律”，用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。但反饋中發現，在這樣的教學中，學生理解不深，頻頻出錯。為此，我引入學生較為熟悉的直觀圖形，在實物直觀、圖形直觀與乘法分配律之間建立有效的聯系，深化概念理解。

1.建立實物直觀與乘法分配律之間的關系

課前，我在校園貼磁磚的一個墻角劃出了形如上圖的一塊，然后帶領學生實地觀察，為建立概念與實物間的聯系作準備。當課上出示上圖時，由于學生對它的實際空間情況有了直觀理解，所以讓他們嘗試求出“一共貼了多少塊磁磚？”時，思維上沒有絲毫障礙，得出兩種不同的方法4×9+6×9和（4+6）×9。

學生分別說出每種方法的每一步求的是什么，找出兩個算式之間的關系，再回答：為什么有兩種不同的方法？

課件動態出示圖2：

通過動態演示，學生對乘法分配律有了初步的直觀認識。教師提問：如果假設瓷磚邊長為1，不計算，你能知道4×9+6×9和（4+6）×9的結果誰大誰小嗎？得出4×9+6×9=（4+6）×9。

2.建立圖形直觀與乘法分配律之間的關系。

（1）直觀感知乘法分配律

課件隱去圖中格子，形成直觀的長方形圖（如圖3）。

學生通過長方形圖，很清楚地看出：長方形的面積圖上就蘊藏著乘法分配律。

（2）借助直觀圖，深化乘法分配律

教師提問：如果已知長方形的長是10，寬是9，面積為10×9，除了可以將它分拆為：4×9+6×9外，還可以有其他的拆法嗎？

通過思考討論，學生得出了很多種拆法：

如把長邊分拆：10×9=1×9+9×9，10×9=2×9+8×9，10×9=3×9+7×9等；也有把寬邊分拆：10×9=10×1+10×8，10×9=10×2+10×7，10×9=10×3+10×6等。

通過對同一幅直觀圖的實際分拆，學生對乘法分配律的認識更加深刻。

（3）創造直觀圖，拓展乘法分配律

為了使學生完成乘法分配律的知識系統建構，我為學生提供不同形狀（如3×3，3×7，3×2，2×4，2×5，2×1……）的長方形，讓學生選擇其中的兩個或三個長方形“拼”成一個大長方形，并列出算式。

學生先找出相應的小長方形拼成稍大的長方形，再列出兩個不同的算式，寫出它們的關系。答案很多：如3×3+3×7=3×（3+7），2×4+2×5+2×1=2×（4+5+1）等。

此時，再讓學生進一步觀察等式兩邊的特點，通過計算或與對應圖形結合，說說乘法分配律的意思，學生都能用自己的話進行正確表述。

（4）憑借幾何直觀，抽象字母公式

提問：為了具有一般性，我們可以把具體的數字換成字母表示（屏幕出示圖4），你能用字母表示它們的關系嗎？

得出：（a+b） ×c=a×c+b×c

此教學過程中，教師借助墻面瓷磚與研究對象間的關聯，進行簡捷形象的思考，使學生獲得深刻、有序的數學思考；接著，憑借直觀的長方形圖，通過操作、探究、推理，輕松自如地理解了原本比較抽象的乘法分配律。

二、 把握數學本質，優化思維表達

數學家克萊因認為：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上；數學的直觀是對概念、證明的本質把握。”在數學學習中，形式上的邏輯表達是一個基本要求，但是如果只局限于形式化的表達，往往會失去對數學本質的正確認識。而善于從問題的幾何直觀特征來研究，往往能得出數學的最簡表達路徑，較為容易地建立起人對自身體驗與事物體驗的對應關系。

蘇教版四年級下冊P89“解決問題的策略——畫圖”中的“試一試”第一題：

小營村原來有一個寬20米的長方形魚池。后來因擴建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了150平方米。現在魚池的面積是多少平方米？（在圖5中畫出減少的部分，再解答）

教學中發現，絕大多數學生受例題教學中 “要求長方形的面積，必須知道長方形的長和寬”的影響，先求出面積減少部分的長方形的長，再求出面積減少后的長方形的寬，從而求出現在魚池的面積，即150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）；也有學生通過先求面積減少部分的長方形的長，求出原來長方形魚池的面積，再用原來魚池的面積減去減少部分的面積，得到現在魚池的面積，即150÷5=30（米），30×20-150=450（平方米）。一位學生卻語出驚人：“老師，他們的方法都太麻煩了，我只要用150×3=450（平方米）就可以了。”同學們都很驚訝，那位學生解釋：“我們可以不用通過長方形面積公式進行中間轉換。從圖上可以很容易就看出來：現在魚池的寬20-5=15（米），是5米的3倍，長不變，那么現在魚池的面積肯定也是減少部分面積的3倍，而減少部分的面積是150平方米。以150平方米為1份，現在魚池的面積就是這樣的3份，即450平方米。”

這位學生完全沒有根據長方形面積公式的邏輯轉換來思考，而是借助長方形的幾何直觀，把150÷5=30（米）的計算直接跳了過去，直擊問題的本質——倍數關系，較為充分地體現出直觀幾何是一種未經充分邏輯推理，直接洞察事物本質的數學方法。

三、 完善數學建構，引領顯性建模

幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化，有助于培養學生的數學直觀領悟能力，因而，尋找數學對象的直觀模型是有效發揮幾何直觀的重要環節之一。較為經典的例子，莫過于統計與概率部分的“認識平均數”（蘇教版三年級下冊P92）的教學，利用條形統計圖，直觀理解移多補少的方法，理解平均數的意義，幫助學生獲得數學分析觀念，感悟隨機意識。

1.展示直觀統計圖，達成評判共識

課件出示4名男生、5名女生套圈結果的條形統計圖。

提問：

①如果4名男生、5名女生分別組成代表隊，你認為哪一隊能贏？

②要確定哪一隊贏，我們首先必須要確定一個公平、公正的評判標準，你能設計一個評判標準嗎？

學生經過交流、討論，認為如果用套中的總數進行比較，對男生不公平；如果根據套中個數最多和最少的個人情況進行比較，也不適合。所以用每組中平均每人套中的個數，即平均數來比較，才是相對公平合理的。

2.直觀圖形操作，建構“移多補少”模型

怎樣表示每組中平均每個人套中的個數最方便呢？讓學生通過拖動條形統計圖上的方框進行移多補少操作，把多的補到少的上面去，得出男隊平均每人都套中7個，女隊平均每人套中6個。從而得出是男生贏。

教師追問：這里的7個（6個），是男（女）隊中某位（每一位）隊員實際投中的成績嗎？它代表了什么含義？

借助對條形統計圖的直觀操作，學生很快理解了“在人數不同的情況下，用平均數比較是相對公平的比較方法”，明確了平均數的本質意義在于“移多補少”，同時直觀建立了用“移多補少”這種數學模型可以解決平均數這一類問題的觀念。以后遇到如“小紅前三次數學測試的平均分是94分，第四次數學測試成績比四次數學測試的平均成績高1分，小紅第四次數學測試成績是多少分？”的問題時，就可以順理成章地用“移多補少”的策略去思考。這樣富有數學味的認知過程，使學生較為充分地建立起抽象的數和形的直觀模型，奠定了邏輯判斷與推理的基礎。

參考文獻

[1] 葉曉宏.幾何直觀在小學數學中的運用.小學數學教育，2012（6）.

[2] 孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式.課程·教材·教法，2012（7）.