讓動手操作與算法建構“嚴絲合縫”

教育心理學研究表明，兒童的認識按照“動作思維——表象思維——抽象思維”的路徑發展。為此，在計算教學中，動手操作作為幫助學生理解算理、建構算法的有效手段而被廣泛運用。但不容忽視的是，由于教師對操作活動的理解和認識不足，在實際教學中，不同程度地存在著“為操作而操作”、“動手操作與算法建構‘兩張皮’”等現象。比如有的教師教學46÷2：

師：46÷2的商是多少？請同學們拿出小棒分一分。

學生拿出4捆和6根小棒。通過分一分，得出結果。教師組織學生匯報結果，繼續教學。

師：除了用分小棒的方法可以求出結果以外，今天老師再教你們一種新的方法——列豎式計算。

接下來，教師一邊講解用豎式計算的要領，一邊板書，示范計算的過程。

在上述教學過程中，教師僅僅把組織學生動手操作——分小棒，當作了一種簡單的求商手段。一句“除了用分小棒的方法可以求出結果以外，今天老師再教你們一種新的方法——列豎式計算”，人為地割裂了學生動手操作與理解算理，建構算法之間的密切聯系，無形之中窄化了操作的功能。接下來，教師“另起爐灶”，重新講解、示范用豎式計算求商的方法，完全將學生置于一種模仿和記憶的狀態。最終導致了動手操作與算法建構的“兩張皮”。

那么，在計算教學中，如何發揮動手操作的“助推器”功能，使其真正為學生理解算理、建構算法服務呢？現以蘇教版數學三年級“兩位數除以一位數”教學為例，談談自己的思考，以求教大方。

一、 動手操作要與算法建構聯系起來

動手操作是建構算法的“敲門磚”，唯有將動手操作與算法建構聯系起來，才能夠起作用。教學兩位數除以一位數，跟口訣求商相比，是學生從學習一步試商向學習多步試商的飛躍。因此，學生除了要熟練地掌握口訣求商的方法以外，還要掌握：用豎式計算的程序，豎式的書寫規范和十位上定商的方法。這對于初學者來說，既是重點，又是難點。如何突破難點？首先，引導學生利用熟悉的“分小棒”作孕伏。通過操作，重點讓學生體悟用豎式計算兩位數除以一位數的順序；明確十位上定商的道理和方法。其次，溝通操作與算法之間的聯系。以操作活動為媒，引領學生理解和掌握用豎式計算的方法，從而實現從分小棒活動到用豎式計算的自然過渡。具體教學過程如下：

師：46÷2的商是多少？我們可以利用分小棒來算一算。怎樣很快地拿出46根小棒？

生：先拿4捆，再拿6根。

師：很好。現在同桌合作：拿出46根小棒平均分成2份，每份是多少？注意想好先分哪一部分，再分哪一部分。

學生活動：先把4捆平均分成兩份，每份2捆；再把6根平均分成兩份，每份3根；最后每份合起來是23根。

學生在小組內交流一下分小棒的過程和方法。之后，全班交流。

師：把4捆平均分成2份，每份是2捆，就是幾個十？（2個十）

師：聯系剛才分小棒的計算過程，今天我們來學習一種更簡潔的方法——用豎式計算46÷2（板書）。

師：先用46哪位上的數除以2？（十位上的4）這和我們分小棒的哪一步相同？（先把4捆平均分成2份，每份是2捆）商2寫在哪一位上？為什么？

生：商2寫在十位上，因為是2個十。

師：接著，用被除數哪位上的數除以2？（講解書寫格式，即6要移下來再除。）這和我們分小棒的哪一步一致？商3寫在哪位上，為什么？

師：現在，組內交流用豎式計算46÷2的過程。誰能說一說？

……

計算46÷2是用豎式，還是分小棒，只是計算方式上的差異，本質上并沒有區別。而且二者的思考方式是相通的。對分小棒而言，學生在以往的學習過程中，已經積累了豐富的知識經驗以及操作活動經驗。所以，教學“兩位數除以一位數”，應充分發揮操作活動的引領作用，溝通動手操作與計算方法之間的聯系，以求事半功倍。

二、 動手操作需要教師適當引導

比如計算52÷2，解決首位不能整除的兩位數除以一位數的問題。這是兩位數除以一位數的計算中比較復雜的一種情況，也是學生學習的難點。此題操作的重點是讓學生領悟到首位不能整除，該如何處理，以及明確這樣處理的道理。具體教學過程如下：

師：52÷2怎么算？現在同學們試一試，在試算過程中，如果遇到問題，可以同桌商量解決，也可以記下來共同討論。

學生積極試算，但算著算著，有些同學停了下來；有些同學不由自主地進行討論；即使有個別同學知道怎么解決，但也說不出什么道理來。此刻，引導學生通過操作，追溯問題的來源，探尋解決問題的辦法，已成為大家共同的心理需求。

師：怎么停下來了，有什么問題嗎？

生：十位上5除以2，還有余數1怎么辦？

師：誰知道怎么解決這個問題？

生：我知道要把個位上的2引下來組成12繼續除，但說不出什么道理。

師：那我們還是利用分小棒的辦法，來尋找解決問題的辦法吧。

同桌學生拿出52根小棒，按要求平均分成2份。根據以前分小棒的經驗，先把5捆等分成兩份，每份2捆，發現余下來1捆。這時，有些同學想到了把1捆拆開變成10根，于是，先把10根平均分成2份，每份5根。之后將2根等分成兩份，每份1根，最后得出每份26根。

師：跟以前分小棒相比，你遇到了什么新問題，怎么解決的？

生：先把5捆平均分成兩份，每份2捆，還余1捆；再把1捆拆成10根分，每份5根；之后分2根，每份1根；最后合起來每份26根。

師：同意這位同學意見的，請舉手。（班內絕大多數同學同意，而且沒有產生其他方法。）

師：大家通過三次分小棒，尤其是想到把余下的1捆拆開變成10根進行等分，真好。但同學們想一想，如果用兩次分小棒，能不能得出同樣的結果呢？比一比，誰最有辦法。

學生積極思考，同學們一邊分小棒，一邊跟同桌交流。

生：可以把余下的1捆，拆成10根，先跟剩下的2根合起來，是12根；再把12根平均分成兩份，每份6根。

師：通過分小棒，知道十位上余1，怎么辦嗎？誰來說一說？

生：十位上余1是1個十，把1個十看做10，再把個位上的2移下來，10和2加起來是12，然后再除。

動手操作為算法建構服務。當動手操作過程與建構計算方法“不協調”的時候，需要教師加以引導，使其互相聯通。學生試算52÷2，遇到了首位不能整除的新問題。從分小棒過程來看，學生不僅探明了首位相除還有余數這一問題的來源，而且找到了解決問題的關鍵——把余下的1捆拆開變成10根。接下來，學生把10根，平均分成兩份，得出每份5根，最后，等分余下2根——如此“三步”的操作方式。雖說是學生思維的真實流露，但是操作過程和計算方法就成了“兩條道上奔跑的火車”，出現了相互分離的現象。于是，教師再次“投石擊水”——“大家通過三次分小棒，尤其是想到把余下的1捆拆開變成10根進行等分，真好。但同學們想一想，如果用兩次分小棒，能不能得出同樣的結果呢？比一比，誰最有辦法”，又一次點燃了學生思維的火花。當學生經過一番思考，得出“可以把余下的1捆拆開變成10根，把10根和2根合起來，是12根；再把12根平均分成兩份，每份6根”的方法，就解決了用豎式計算兩位數除以一位數遇到首位不能整除時“怎么辦”的問題。這樣就真正地KPU7H6y6KAAhTg2VZPkLVBhs/yh3F0+Syq9Gj2btNw4=實現了操作過程與算法建構的“嚴絲合縫”。

三、 動手操作需要教師適時點撥

動手操作是學生算法建構的基礎，但操作過程與計算方法之間還有一定的距離。尤其是一些不易引起學生注意、卻對算法學習起到關鍵作用的環節，需要教師適時地點撥，以促進學生算法建構。比如計算62÷3。計算這道題的難點是：用豎式計算時，由于被除數十位上的數恰好能被除數整除，而其個位上的數除以除數不夠商1，所以要在商的個位上寫0。為了幫助學生理解上述計算方法，可以先借助小棒等學具把62平均分成3份，讓學生在操作中探索不同的分法，為接下來學習豎式計算提供支持。但教學實踐表明，雖然學生通過操作，得出每份2捆還余2根的結果，但并不能很好地理解用豎式計算時商的個位上要寫0的道理。于是，出現操作不能直接支持算法的情況。為此，在學生操作之后的交流環節，需要教師加以點撥：每份2捆，是多少根？（20根）余下的2根平均分成3份，夠不夠每份1根？通過對這些問題的思考，使學生領悟到：用被除數個位上的“2”除以除數，因為不夠商1，所以要商0占位。這樣教學，學生不僅“知其然”，知道了商0的必要性，而且“知其所以然”，明確了商0的道理。