借助幾何直觀學好數學

義務教育《數學課程標準》（2011年版）已于2011年12月28日頒布了，修訂后的小學數學課程標準在理念、目標等方面都做了改進，在課程內容部分提出了十個數學課程與教學應當注重發展的核心概念，和原來的六個核心概念相比，幾何直觀是新增的幾個核心概念之一。既然以往課標已經意識到幾何直觀的作用，那么新版《數學課程標準》為什么還要突出和強調幾何直觀？這個問題值得我們深思與探討。

新版課標指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”從課標的描述可以看出，幾何直觀應該成為學生學習數學的好拐杖，借助它可以幫助學生直觀理解數學。幾何直觀的拐杖作用體現在以下幾個方面。

一、 借助幾何直觀幫學生理解數學概念和規律

數學概念和規律的抽象性與小學生以具體形象思維為主的現實產生了矛盾，要想有效地解決這一矛盾，就必須在某些具體對象或內容與數學概念和規律之間架設一座橋梁，幾何直觀正是解決這一矛盾的手段。

例如：關于圓的認識的教學，有經驗的教師會用慢節奏甚至是稍帶夸張的動作來清楚地演示畫圓的方法，先刻意讓學生觀察老師旋緊圓規的夾緊螺母，再將一腳固定在定好的圓心上，畫一小段不連續的弧，提問：“這些點有什么相同之處？螺母旋緊，一腳固定是為了什么？這樣的點還有嗎？”當學生肯定在各個方向上還有許多這樣的點以后，教師再畫出完整的圓，并告訴學生，這樣的曲線就叫圓。幾何直觀使得學生在較短時間內形成了正確的、清晰的關于圓的概念。

例如：乘法交換律的幾何直觀

這樣的幾何排列能幫助學生理解乘法交換律。

再比如用幾何直觀表示恒等式是非常有效的，恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2的直觀演示：

（a+b）2=a·a+a·b+a·b+b·b=a22ab+b2

這樣的演示讓學生很容易就記住了這個公式。

二、 借助幾何直觀幫學生激發問題意識

新版課標將原來總目標中的“解決問題”改成“問題解決”，更加重視學生的問題意識，而發現問題和提出問題是學生數學問題意識的具體體現。在教學過程中，教師借助幾何直觀可以幫助學生發現問題和提出問題。

例如：平行四邊形的面積教學

教師出示教具：一個長方形框架，它的長是8厘米，寬是5厘米。提問：“它所圍成的長方形面積是多少？你是怎樣想的？”

教師演示：捏住這個長方形的一組對角，向外拉，提問：“同學們看看，長方形變成了什么圖形？”

教師提問：“觀察變化過程，你能發現什么？你能提出哪些問題？”

例如：鄭毓信所著《數學思維與小學數學》中有這樣一道題：試就下圖所示的情景提出3個數學問題，要求一個較為容易，一個較難，另一個則難度適中。

我覺得絕大多數學生會很自然地提出這樣一個問題：后面的圖形應該是什么樣子呢？要解決這個問題也很簡單，就按照前面的規律畫出后面的圖形，前面三個圖分別是邊長為3個圈、4個圈、5個圈的正方形，后面的圖形就應該是邊長是6個圈的正方形了。

也可能提出這樣的問題：如何計算第三個圖形外面的空心圈個數？學生或許會提出不同的解決策略，如下圖所示：

通過這種方式，學生發自內心的好奇心得到了極大的鼓勵，順便還能提出其他的一些問題：下一個圖形外面的空心圈有多少個？外面空心圈的個數與正方形每邊空心圈之間有怎樣的關系？或者可以反過來思考，如果一共有76個空心圈，那么正方形的每個邊上應有幾個圈？這個問題還可以進一步引申，把正方形改成其他規則多邊形，討論有關周長和圈的問題。 通過引申題和提出不同的問題，學生既是解決問題的人又是提出問題的人。

如果學生能用幾何直觀去思考分析問題，遇到類似的問題能借助于類比、聯想，那么就一定能激發學生的問題意識，從而提高他們發現問題和提出問題的能力。有興趣的老師不妨用這些問題考考你的學生，看看他們發現問題和提出問題的能力怎樣。

三、 借助幾何直觀幫學生尋找數學規律成立的原因

新課程指出“推理能力的發展該貫穿于整個數學學習過程中”，推理一般包括合情推理和演繹推理。雖然小學階段對學生推理的要求不是很高，但教師可以借助幾何直觀要求他們用適合自己的方式，直觀、清楚和正確地表達一些規律成立的原因。

例如：用20塊方磚（邊長為10cm正方形）拼擺出不同的長方形圖形，要求必須用上所有的磚，數出并記錄每一種長方形的面積和周長，然后找一找并描述你發現的規律，并說說這些規律為什么成立。

學生們得到上面的表格后發現了如下規律： “瘦長”的長方形周長最大，“胖”長方形的周長最小。理由：學生在移動這些方磚時，看到瘦長的長方形變胖后原來的一些邊就藏到里面了，這樣周長就變小了。

四、 借助幾何直觀幫學生培養觀察能力和空間觀念

新版課標指出：空間觀念的培養除了根據物體特征抽象出幾何圖形，還要能根據幾何圖形想象出所描述的實際物體等。通過幾何直觀可以幫助學生培養觀察能力和空間觀念，這種作用在教材中觀察物體這一內容上體現得淋漓盡致，在這里不多描述。其實，教師在平時的教學過程中就應該有意識地通過幾何直觀幫助學生培養觀察能力和空間觀念。

例如：可以根據骰子上點的排列形態而不是數數來決定點數。

還可以通過下列具體操作幫助學生形成空間推理概念：把一張正長方形的紙對折以后剪去右下角，再展開后是什么形狀呢？如果剪去左上角呢？剪去右上角呢？

讓學生來想象、預測和檢驗他們的操作結果，通過這些幾何直觀活動可以幫助學生形成空間概念和空間推理的概念。

五、 借助幾何直觀幫學生理解數學建模思想和方法

數學建模過程是運用數學手段分析解決實際問題的過程。幾何直觀因其鮮明的生動性能夠激發我們的形象思維，所以可用來幫助學生從具體情境中抽象出數學問題，建立解決問題的模型。

例如雞兔同籠問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？

學生可以用最直觀、最簡單的畫圖法，即：先畫35個圓圈，用它們來表示頭，在一些圓圈下面畫2條小豎線來表示雞，在另一些圓圈下面畫4條小豎線用來表示兔。首先要使數得的豎線剛好是94，然后數一下雞的只數和兔的只數。當然學生畫小豎線時可以采取這樣的策略：第一種策略是先在35個圓圈下面全畫2條小豎線（假設全是雞），這樣一共有70只腳，但實際是94只，所以還要畫24只腳，這樣在原來的基礎上，有12只雞要變成兔子，答案就出來了。第二種策略是先在35個圓圈下面全畫4條小豎線（假設全是兔），這樣一共有140只腳，但實際是94只，所以還要去掉46只腳，這樣在原來的基礎上，有23只兔子要變成雞，答案也就出來了。

教師引導學生思考這樣的問題：

（1）上面的畫圖法使解決“雞兔同籠”問題簡單了嗎？

（2）你能根據上面的思路想出一個更簡單的方法嗎？

借助幾何直觀用假設法解決“雞兔同籠”問題的模型很容易就建立起來了，它比教師直接講授假設法要更加自然和易懂。

再例如：五個同學，每人都要和其他的人通一次電話，一共要通多少次電話？

學生可能先畫5個點來表示五個同學，要表示兩個人通話就在他們之間用一條線連接。一共要通多少次電話，就是求一共有多少條線。如何計算線的條數呢？

數學模型一：考慮第一個同學要與其余四個同學通話，就從第一個同學引4條線段連接其余四個同學。接下來考慮第二個同學，因為他已經與第一個同學通過話了，所以他只與剩下的三人通話，這樣畫3條線段。再考慮第三個學生，要畫2條線段。第四個學生則畫1條線段。到第五個學生已經不需要再畫了，因為他已經與其他同學都通過話了。這樣一共要通話的次數就是：4+3+2+1=10。即使題目中“五個同學”改成“十個同學”，學生也已經知道用“9+8+7+6+5+4+3+2+1”這種模式來解決問題了，并且理解為什么要這么算。

數學模型二：考慮第一個同學與所有四個同學通話一共有四條線段，考慮第二個同學與所有四個同學通話也四條線段，第三個同學、第四個同學、第五個同學與其余四個同學通話都是四條線段，所以一共有5×4條，但第一個同學與第二個同學通話一次，現在算了兩次，所以要除以2，其余每兩個同學的通話都算了兩次，都要除以2，一共要通電話的總次數就是。如果題目中“五個同學”改成“十個同學”，那么學生就會用來計算，于是結果就出來了。

總之，教師要借助幾何直觀幫助學生直觀理解數學，學生要借助幾何直觀把復雜問題簡單化、形象化，讓幾何直觀成為學生學習的好助手，讓幾何直觀伴隨學生一生的數學學習。