部分等于全體？

康托爾（G.Cantor 1845—1918） 是德國著名的數學家，集合論（現代數學的一個分支）的創始人。他肯定了無窮數的存在，并對無窮問題進行了哲學的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現代數學的發展打下了堅實的基礎。

盡管康托爾當初提出的數學觀點，曾引起數學界保守勢力的巨大爭議和激烈攻擊，以至于敏感脆弱的康托爾患上精神抑郁癥，最終病逝于精神病院，但這并不影響康托爾是19世紀最有才氣、最具創造性、最有革新精神的數學家之一的地位評價。

從下面的這則小故事中，讀者就不難發現“無窮”所蘊含的奇特。

據說，在哈雷大學長期任教的康托爾經常去學校附近的一個酒吧喝啤酒，與朋友們聊聊天。有一次，他的鄰居——在商店做出納的小伙子也到酒吧喝酒，剛巧碰到康托爾教授，便坐在一起海闊天空擺起了“龍門陣”。

也許是酒精作用，也許是職業使然，興致大發的康托爾眼珠一轉話鋒陡變，竟然向小伙子問起了一個數學問題：“偶數和自然數你是知道的吧？那你想過沒有，這兩種數中哪種數的‘個數’更多一些呢？”

“那還用說，偶數是自然數的一部分，肯定是自然數多嘍！”小伙子不假思索脫口而出。

“你肯定嗎？”康托爾聽罷臉上露出了狡黠的笑容。

“當然。”小伙子毫不猶豫回答。

“我看未必。”康托爾說著一仰頭喝光了杯中的啤酒，然后放下酒杯對著納悶不解的小伙子繼續發問，“假如有兩個水果筐，一個筐中裝著蘋果，一個筐中裝著梨，我們不知道筐中水果的個數，當然也不準清點數目，你怎么知道蘋果和梨個數一樣多？”

看得出康托爾早有準備。

“這簡單。雙手每次同時從兩只筐中各取一只蘋果一只梨，蘋果取完時梨也正好取完，就說明兩種水果的個數一樣多。”小伙子的腦袋挺靈活，所用的方法也得到教授的認同。

康托爾點點頭說：“從數學角度來判斷，實際上就是一只蘋果對應一只梨。簡單地形容，就是蘋果與梨形成一一對應的話，那么它們的個數就相同。是這意思吧？”

這回輪到小伙子點頭了。

康托爾見火候已到，把話題轉入到剛剛提及的問題：“那好，現在我們再來看偶數和自然數。自然數應該是1、2、3、4、5……如果把它們都擴大兩倍，就得到了2、4、6、8、10……這不就是偶數嗎？”小伙子有點糊涂了，教授卻趁熱打鐵：“也就是說，自然數和偶數也可以建立一一對應關系，那不就說明它們的‘個數’相同嗎？”

小伙子不知不覺掉落教授設置的“圈套”，他自言自語道：“好像挺有道理，也許你是對的。”

看著小伙子迷惑的眼神和表情，康托爾頗為得意地大笑起來……

教授的解釋真的有道理嗎？我們不妨來分析一下：在事物“有限”的前提條件下，“部分”肯定小于“全體”，這一點毫無疑問，而一旦前提發生變化，即比較的事物是無限的情況下，那么大家習以為常的結論就可能不再順理成章地成立。比如上面采用一一對應的方法所得出的荒誕結論，即從表面上看起來，“部分”竟然等于“全體”。這里所謂的“表面上”，實則是指這種說法也不準確。那么，最科學的描述是什么呢？很簡單，如果兩個集合中的元素是無限的，那么這兩個集合中的元素個數無法比較多少。

現在你明白了嗎？“部分=全體”的荒謬結論，原來是源于“無限”的前提啊！

編輯/梁宇清