中學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的要求探討

數(shù)學(xué)概念的掌握首先在于理解。理解就是明確概念的對(duì)象是存在的，并且懂得對(duì)象的本質(zhì)屬性和屬性之間的聯(lián)系以及能夠闡明這種聯(lián)系的邏輯依據(jù)。因此，掌握數(shù)學(xué)概念的要求就是運(yùn)用邏輯思維的形式，根據(jù)邏輯思維的規(guī)律和方法來(lái)達(dá)到對(duì)于所研究對(duì)象的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，這種要求具體地表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一、要掌握定義對(duì)象的存在性

數(shù)學(xué)概念定義對(duì)象的存在性，一方面可用定義所標(biāo)志的實(shí)際事物來(lái)說(shuō)明，另一方面還需要用邏輯證明的方法來(lái)說(shuō)明。這種對(duì)概念作辯證唯物的解釋在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是通過(guò)以下方式來(lái)實(shí)現(xiàn)的：

（1）舉出定義對(duì)象的實(shí)際事例。例如平行線的實(shí)際事例有鐵軌、直尺邊緣等。

（2）給出概念的存在定理。例如證明“垂直于同一條直線的兩條直線不能相交”，這個(gè)定理的證明說(shuō)明了平行線定義在邏輯上是合理的，平行線的概念是實(shí)際存在的。又如命題“三角形三條邊的垂直平分線交與一點(diǎn)”實(shí)際上就是“三角形外心”的存在定理。

數(shù)學(xué)概念的存在定理，既可在下定義之前給出，也可在下定義之后給出。在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)組織教材的需要，作出適當(dāng)?shù)陌才拧?/p>

（3）數(shù)學(xué)概念的定義有一種叫做“發(fā)生式定義”。例如圓的概念可定義為“圓是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)與一定點(diǎn)作等距離運(yùn)動(dòng)所成的封閉曲線”。這樣的定義本身說(shuō)明了定義對(duì)象的存在性。因此，定義對(duì)象的存在，在教學(xué)中是采取多種方式來(lái)說(shuō)明的。

二、要掌握概念的名稱的作用

概念是從實(shí)際事物中抽象出來(lái)的。抽象的結(jié)果是用“詞”來(lái)表現(xiàn)的，通常把這種概念的詞的表現(xiàn)叫做“概念的名稱”。例如“相似三角形”這一名稱，它除了表示概念所指示的對(duì)象之外，還表示了對(duì)象的屬性。

概念是一種思想，概念的名稱是與這一種思想緊密聯(lián)系的符號(hào)。這種聯(lián)系發(fā)生在形成概念的過(guò)程之中或過(guò)程之后。由于使用名稱是與概念相聯(lián)系的，概念的名稱所指的不是一個(gè)專門(mén)的對(duì)象，而是一類對(duì)象。所以，結(jié)合對(duì)象來(lái)命名的作用，就是借此可以揭示概念的外延。

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，學(xué)生企圖以死記硬背名稱、術(shù)語(yǔ)的方式來(lái)掌握概念，這往往是由于他們不懂得概念的名稱的由來(lái)和它的作用。引導(dǎo)學(xué)生正確使用概念的名稱或術(shù)語(yǔ)對(duì)正確的思維具有很重要的意義，因?yàn)椴徽莆崭拍蠲Q的作用也正是造成歪曲概念的原因。

三、要掌握原始概念的作用

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，一方面要利用關(guān)于數(shù)和形的實(shí)際事例的感性材料進(jìn)行抽象與概括來(lái)揭示概念所反映的本質(zhì)屬性，另一方面在給概念下定義的過(guò)程中要利用以前已知的概念來(lái)給出新的概念的定義。這是因?yàn)樾赂拍钏从车膶傩员仨氁耘f有概念的名稱來(lái)表達(dá)。如此類推，必然在某些概念之前，沒(méi)有任何已知的數(shù)學(xué)概念可作為定義的依據(jù)。像這些不能給予任何定義的概念稱為原始概念。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，如“點(diǎn)”“線”“面”“元素”“集合”“對(duì)應(yīng)”等都是據(jù)以定義其他數(shù)學(xué)概念的原始概念。

原始概念也是在實(shí)際事例中抽象出來(lái)的，但它是起于直接經(jīng)驗(yàn)的。例如集合的概念定義為“具有某種屬性的東西的全體”。這種定義不以任何數(shù)學(xué)概念為依據(jù)。這種定義的理解，全憑實(shí)際事例的指示；只有通過(guò)直接經(jīng)驗(yàn)才能把握它的意義。一般稱它為指示的定義或描述性的定義。

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生懂得原始概念是一切其他概念的定義的出發(fā)點(diǎn)。

四、要掌握給概念下定義的規(guī)則

任何科學(xué)概念的敘述必須是明顯的、確定的，否則便不能產(chǎn)生反映事物屬性的作用。而數(shù)學(xué)概念和概念之間的聯(lián)系首先通過(guò)概念的定義來(lái)反映的。因此，要求概念之間的聯(lián)系必須是邏輯的聯(lián)系。因?yàn)檫@種邏輯的聯(lián)系是根據(jù)正確思維的規(guī)律建立起來(lái)的，所以，給概念下定義必須符合一定的規(guī)則。

大家知道，給概念下定義不能循環(huán)。循環(huán)定義的表現(xiàn)，一種是既用甲概念來(lái)定義乙概念，又用乙概念來(lái)定義甲概念。例如“相交成直角的兩條直線叫做互相垂直”和“互相垂直的兩條直線的交角叫做直角”是循環(huán)的定義。另一種是純粹的“同語(yǔ)反復(fù)”。例如互為質(zhì)數(shù)的數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。這樣定義的結(jié)果是什么也沒(méi)有說(shuō)明。

在學(xué)生的回答中，常常出現(xiàn)循環(huán)定義的錯(cuò)誤，這往往是由于對(duì)本門(mén)學(xué)科的原始概念的作用缺乏足夠的認(rèn)識(shí)。在一門(mén)學(xué)科的開(kāi)始階段，基本概念的教學(xué)必須注意避免這種錯(cuò)誤。

概念和它的定義又必須是相稱的。如果不相稱，必然產(chǎn)生縮小或擴(kuò)大概念所應(yīng)該具有的外延的錯(cuò)誤。例如“無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)”就是擴(kuò)大了無(wú)理數(shù)概念的外延，因?yàn)橄瘭? lg2等無(wú)理數(shù)都不能夠用有理數(shù)的方根來(lái)表示。

在學(xué)生的回答中，這一種錯(cuò)誤也是常見(jiàn)的。這往往是由于對(duì)概念的內(nèi)涵與外延沒(méi)有真正掌握。在概念的教學(xué)中，必須十分重視根據(jù)概念的名稱和定義來(lái)揭示概念的外延，亦即對(duì)概念進(jìn)行分類。

教師要能正確地運(yùn)用概念，就必須在掌握概念時(shí)不僅了解概念內(nèi)涵中所包括的一切屬性，而且還必須了解怎樣把鄰近的概念或彼此相反、彼此對(duì)立的概念區(qū)別開(kāi)來(lái)。這就要求教師要掌握一定的概念體系。

掌握概念的體系就是既要熟悉比目前所研究的概念更為一般的概念，又要熟悉比目前所研究的概念更為特殊并且是從屬于它的概念。

例如方程和函數(shù)是不同的數(shù)學(xué)概念，它們分別各自構(gòu)成自己的體系，但又彼此有概念上的聯(lián)系。方程實(shí)質(zhì)上是用函數(shù)來(lái)下定義的額，所以，函數(shù)是比方程更為廣泛的概念。

因此，教師對(duì)教材的掌握首先表現(xiàn)出對(duì)一定的概念體系的掌握。

五、要掌握概念的運(yùn)用

概念的運(yùn)用是把已經(jīng)概括了的一般的屬性應(yīng)用到個(gè)別的、特殊的場(chǎng)合。這又叫做概念的具體化，這種具體化主要表現(xiàn)為把概念作為判斷的工具。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，經(jīng)常利用定義來(lái)判定圖形屬性或者數(shù)量之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，概念每一次的具體化，都將使學(xué)生對(duì)概念有更全面、更深刻的理解和掌握。

例如運(yùn)用絕對(duì)值和算術(shù)根的概念求得=|a|和=|a-b|，便可說(shuō)明數(shù)學(xué)概念是在運(yùn)用它們的練習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步地理解、明確和鞏固起來(lái)的。所以，概念的運(yùn)用又反過(guò)來(lái)對(duì)理解和掌握概念起著重要的作用。

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，我們只有掌握它的規(guī)范與要求，才能切實(shí)地提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，奠定人生的發(fā)展基石。