利用變式訓練和一題多解培養學生的數學思維能力

教材是教和學的依據，課本中的例題、習題是經過反復篩選精編而成的，看似尋常，實則內涵豐富，有不尋常的使用價值和應用功能。教師要充分發揮課本例題、習題的作用，在教與學中創造性地加以發揮與延伸，如一題多解（多方位、多角度、多層次）、舊題新講、小題大講（深入挖掘、一題多變，一題多解，一題多用）等。這能有效拓展學生的思維，提高學生的數學能力。

一、 舊題新講、小題大講

這里的“舊題”，是指課本中已做過的某些典型習題或例題。

例如：

如圖1，⊙O1和⊙O2外切于點P，AD是⊙O1和⊙O2的公切線，A、D為切點。求證：AP⊥PD。此題是書本上的題，我們可以對此題作出如下變換：用運動的觀點改變圖形。

（1）兩圓位置不動，直線運動。①兩圓位置不動，若切線AD繞點A旋轉到與⊙O2相切于點C的位置，如圖2會有什么樣的結論？（∠APC+∠BPC=180°）②兩圓位置不動，若直線AD分別交兩圓于點A、B和C、D，如圖3會有什么樣的結論？（∠APD+∠BPC=180°）

（2）直線不動，兩圓運動。①如圖4，若⊙O1和⊙O2外離，BC是⊙O1和⊙O2的外公切線，B、C為切點。連心線O1O2分別交⊙O1和⊙O2于M、N，BM、CN的延長線交于點P。求證：BP⊥CP。②如圖5，若⊙O1和⊙O2相交，BC是⊙O1和⊙O2的外公切線，B、C為切點。連心線O1O2分別交⊙O1和⊙O2于M、N，Q是線段MN上一點，連接BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直？證明你的結論。③如圖6，若⊙O1和⊙O2相交，交點是M、N，BC是⊙O1和⊙O2的外公切線，B、C為切點。求證：∠BNC+∠BMC=180°。

本題還可以變為開放性題目。根據圖中給出的已知條件及線段，你還能得到哪些結論？如圖7，經過分析研究，我們還可以得到下列結論：

1） PA=PT（或PB=PT）；2） ∠PAT=∠PTA（或∠PBT=∠PTB ）；3） ∠OAP=∠OTP=90°（或∠OBP=∠OTP=90° ）；4） PA=PB（或AB=2PT ）；5） ∠ATB=90°（或∠ATB為直角 ）；6） ∠AOT+∠APT=180°（或∠BO1T+∠APT=180° ）；7） OA∥O1B；8） △OAT∽△PTB（或△PAT∽△OTB）；9） PA·PB=OT·O1T（或PA·PB=OA·O1B）。

二、 一題多解，解題過程中拓展思路

課本上的例題、習題是經過嚴格篩選精心編制的，典型性強，靈活性大，不少習題往往有多種解法。

已知：如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于D。求：弧AD的度數。

變式題：如圖11，在⊙C中，CA⊥CB，CA=3，CB=4，求AD的長。

本題解法靈活，涉及勾股定理、垂徑定理、切割線定理、相似三角形和解直角三角形的知識。由解題可見，思考越深刻，聯想越豐富，解法越簡捷。