初中數學應用題的妙解

數學是一門基礎科學，更是一門解決相關學科問題的工具。在科學技術飛躍發展、素質教育全面推進的今天，應用數學的地位顯得格外重要。我們知道，學習數學的目的，就是解決實際生活中的問題，比如現代社會中小到日常的家庭理財，大到國家的航空航天，無論哪一件事情、哪一個行業，可以說都和應用數學密不可分。如何學好應用數學，掌握初中數學應用題的解答是基礎，更是關鍵。下面，我就十幾年的數學教學經驗略談幾點有關方程應用題的求解。

一、仔細審題，準確會意

應用題是用文字加數字（已知數字與未知數字）來表達所提問題的題目。要想解答出答案，首先就要對文字、數字的表述進行仔細閱讀，抓住題目中的關鍵字詞，找出數量，并一一列出所有的這些量，再通過閱讀理解題目，找到這些量之間的關系。然后在心里確定哪些是已知量，哪些是未知量，已知量和未知量之間如何建立等式（列方程）等。要是題目閱讀完了，心里對各量之間有什么關系還沒掌握，那說明仔細審題、準確會意這一步還沒達到，就要進一步仔細審題。

例題1 有一個水池，有甲乙丙三個水管，甲乙是進水管，丙是出水管，單獨開放甲管16分鐘可將水池注滿，單獨開放乙管10分鐘可將水池注滿，單開丙管20分鐘可將全池的水放完，現在先開甲乙兩管，4分鐘后關上甲管開丙管，問又經過幾分鐘才能將水池注滿？

分析：此題為工程問題。題目中涉及到的量有甲進水量，乙進水量，丙出水量。還有一個量那就是水池的容積量（隱含量）。這四個量中，前三個量都是很容易掌握的，但是對于水池的容量沒有注意或者掌握，可能會對下一步的列方程會有障礙，此題為工程因此隱含量看作是1。水注滿水池，意味著流進的水量減去流出的水量等于水池的容積。

流進的水量-流出水量=全池水量（1），進一步分析，流進的水量等于甲乙兩管進水量的和，而流出的只有丙管水量。對于（1）式可改寫為：甲管進水量+乙管進水量-丙管出水量=全池水量（2），水量又與水管大小和開閘的時間有關，全池水量看作是1，知道時間，但不知道每個管的單位時間的進出水量，所以要根據四個量求出每個管單位時間里的進出水量。

由于單獨開放甲管16分鐘可將水池注滿，可得：單位時間甲管進水量×16=1，單位時間甲管進水量=。同理可得：乙管單位時間進水量×10=1，乙管單位時間進水量=；丙管單位時間出水量×20=1，丙管單位時間出水量=。

第一步是解答應用題重點中的關鍵，有了這一步，下面幾部就容易了，也很簡單。

二、設置未知數，建立方程

結合第一步，我們設出未知量，寫出方程。一般情況下，應用題中不知道的量就設為未知量（x），說簡單一點，就是求什么，我們設什么。什么量未知，什么就是x。例1中，由于未知的量是時間，所以就設又經過x分鐘水池將注滿水。這樣，解答就進入了第二步。

解：設又經過x分鐘水池注滿水，根據題意（第一步）有（+）×4+×x-×x=1。

有些題目中未知量不止一個，也有可能是兩個、三個（初中很少有這樣的應用題），從中找到未知量與未知量之間的關系，就可以用一個未知數（x）設出兩個或三個以上的所有未知量。要是不能e81ad4cedd1ce2f260b310d7c175a0a428d667b6d8aa4c4621eb0d96d17a6f69，那我們就必須設兩個或三個以上的未知數（x、y、z……），但必須要能根據題意列出相應未知量個數的方程來，否則審題就不準確。這樣，列出方程，解二元一次或三元一次方程組，就可解答出未知量來。

例2 某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其中A商品進價是每件1200元，售價是每件1380元，B商品進價是每件1000元，售價是每件1200元，問該商場購進A、B兩種商品各多少件？

分析：由于所求的是A、B兩種商品各多少件，也就是有兩個未知量，要是設A的件數是x，B的件數不好求出來，所以，還需要設B的件數為y。經過審題，掌握各量之間的關系，可建立兩個等量關系：1200x+1000y=360000 ①，180x+200y=60000②。由①、②聯立方程組可解答出x與y的值。

三、正確解方程，取其有意義的解

有關二元一次不等式中取整數解的題目中，要根據題意，取舍所解，寫出有意義或者符合題意的解。

例3 某種電腦病毒傳播非常快，如果1臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染。請你用學過的知識分析，每輪感染中平均1臺電腦感染幾臺電腦？

分析：假設每一輪感染中1臺電腦會感染x臺電腦，那兩輪后有81臺電腦感染，從而可得（1+x）2=81，解得x=8或x=-10。

由于x是電腦臺數，實際生活中，物品的數量不能為負，因此，x=-10是不符合題意的，是不能作為正確的解，所以我們要舍去，取有意義的8為本題的解。

取舍所解，主要還是審題，在審題時，應弄清楚未知量能不能取負數，能不能取分數。其實就是看未知量的單位，如單位是分鐘（表示時間），那可以取分數，但不能取負數。單位如果是個，就不能取負數，也不能取分數。總的來看，就是看表示單位的數字可不可以連續，比如時間長度都可以是連續的數值，比如書本、課桌就不可能為分數。當然了，具體問題中具體分析，有些也不是絕對的。

四、答要準確，帶有單位

此環節較簡單，也最容易，但是，答的過程是一道應用題中解答中不可少的部分，只有答清楚，老師在評閱中才能一目了然。綜合上述，解答例1

解：設又經過x分鐘水池注滿水，根據題意有（+）×4+×x-×x=1，解此方程可得x=7。

答：又經過7分鐘才能把水池注滿。

此時，我們才發現，解答應用題的過程書寫很簡單。因此，能讓學生正確解答一道應用題，主要還是前面三步：仔細審題，深入思考；找到各量之間的關系，建立等式（不等式）；準確求解，取其符合題意的解。這才是解答應用題的關鍵所在！