巧用三角函數求最值的方法

求三角函數最值是高中數學中較常見的題型，也是多年來高考和數學競賽的熱點。由于求解這類題目需要思路開闊，技巧性強，學生往往感到困難，所以是高中數學的難點。下面，筆者結合教學實踐，提煉出較為典型的若干實例，啟示學生如何進行分類探求三角函數的最值方法。

一、 利用三角函數的有界性求最值

利用三角函數的有界性求三角函數的最值，關鍵在于應用三角函數的公式、性質將三角函數式化為復角的單名函數式或某些已知其最值的三角函數，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

∵|sidf4d39d6398758ce51958ff2c327bdaa2b5c0f66363ad991bb1494104700167en（x+le）|≤1，∴≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=決定。

又因為 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數的最值時，有時選取適當的變量代替式中的三角函數式，能使問題迎刃而解。但作變量代換時要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

∵t=sin（x+），∴-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數變形得y=sin2x-4sinx+5。

設sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又∵-1≤t≤1，∴當t=1時，ymin=2。

當t=-1時，ymax=10。

三、應用平均值不等式求最值

應用平均值不等式來求三角函數的最值，關鍵在于恒等變形，把三角函數式變為能應用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數y=+（a>b>0，0

解：∵y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質求最值

利用幾何圖形性質求最值的特點是直觀、簡潔，將最值問題轉化為求直線的斜率問題，求形如y=的最值關鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動點A（f（θ），g（θ））與定點B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點，使KAB最大或最小。

例6 求函數y=的最值。

分析：如下圖，函數y的幾何意義是定點A（2，2）和動點B（cosθ，sinθ）的連線的斜率KAB，動點B的軌跡是圓x2+y2=1，當過點A的直線與圓相切時，切線AB、AB'的斜率KAB、KAB'就是所求的最值。

解：如圖所示，設AB、AB'的方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，由點到直線距離公式得：=1，解之得k=，于是KAB=，KAB'=。

故ymin=， ymax=。