輪換對稱不等式的證明技巧

【定義】

對稱不等式：把一個不等式里的兩個字母對調，所得的不等式和原來的不等式相同，則這個不等式，叫作對稱不等式。

輪換對稱不等式：如果一個不等式中的所有字母按某種次序輪換后，得到的不等式與原不等式相同，則稱這個不等式，叫作輪換對稱不等式。

輪換對稱不等式形式優美，其證明方法也有很多，但是，其中的規律卻難以尋找。在教學過程中，學生對此常常有所困惑，在證明時因為對輪換對稱不等式的概念及性質認識模糊等等原因，容易出現一些錯誤。下面，結合本人的教學實踐，介紹幾種易操作的方法供讀者參考。希望大家能夠舉一反三，觸類旁通，較好地掌握這些輪換對稱不等式的證明技巧，提高自己的思維能力。

例1：已知a+b+c=1，且a、b、c均為非負實數。求證：++≤ 【次數配平法】

證明： ++≤?++≤

?（++）2≤3（a+b+c）

?（-）2+（-）2+（-）2≥0

例2：已知a、b、c均為正數。求證： （a+b+c）（++）≥9.【項數配平法】

證明： ∵ a、b、c∈R+，a+b+c≥3，a+b+c≥3>0

兩式相乘，得++≥3>0.

例3：已知a、b、c∈R+，求證：++≥. 【均分常數項】

證明：++≥等價于（-）+（-）+（-）≥0.

不妨設a≥b≥c>0，左邊=++≥=0

當且僅當a=b=c時等號成立.

例4：已知a、b、c都是正數，求證： ++≥.【均分獨立項 】

證明：++≥等價于（-）+（-）+（-）≥0.

由a、b、c的對稱性，不妨設a≥b≥c>0，則（-）+（-）+（-）=++≥=≥0.

當且僅當a=b=c時，等號成立。

例5：若x+y+z=a，且x，y，z∈R.求證：x2+y2+z2≥.【代數換元】

證明：設x=+α，y=+β，z=-（α+β），α、β∈R，則x2+y2+z2=（+α）2+（+β）2+[-（α+β）]2=+α2+β2+（α+β）2≥.

例6：已知a、b、c都是正數，且a2+b2=c2.求證：an+bn

證明： ∵ a、b、c都是正數及a2+b2=c2，設a=ccosα，b=csinα，（0<α<）， 則02），∴ an+bn=cn（sinnα+cosnα）

應該說，以上介紹的幾種方法，各有特點，它們并不是相對獨立的，它們可以交替運用。有時，一個對稱不等式可同時適用三種方法。在教學過程中，教師要引領學生多向思維，廣開思路，靈活地使用各種技巧，去尋找解題的方法。面對一些較為復雜的題目，要學會化簡命題，找到突破口。嫻熟地運用這些方法，可以提高學生的解題能力，鍛煉學生的思維。這樣，無論是對平時的解題還是考試，都會起到良好的促進作用。