對課本上一道好題的探究

教材是高考命題的根，要吃透教材。在平時教學中，除了交給學生必要的知識點，更重要的是再現知識的探究、發現、形成的過程，教會學生學習的方法和解決問題能力。作為數學老師，可以課本上的一些好題為抓手，引導學生探究、討論、挖掘，借此加強對重點知識的理解，提高學生學習數學的興趣。

人教版新課標必修一有這樣一道題：畫出定義域為{x〡-3≤x≤8，且x≠5}，值域為{y〡-1≤y≤2，y≠0}的一個函數的圖像。

①將你的圖像和其他同學的相比較，有什么差別嗎？

②如果平面直角坐標系中點P（x，y）的坐標滿足-3≤x≤8， -1≤y≤2，那么其中哪些點不能在圖像上？

課堂上，我領著同學們進行探究，充分調動學生積極性。大家異常活躍，有許多畫法。最后討論、比較、歸納，產生3種有代表性的畫法，由同學一一展示如下。

法一：這種最簡潔，為滿足定義域和值域中的兩個條件，如圖1挖掉一個點就可以了。

（圖1） （圖2）

（圖3）

法二：這種方法為滿足定義域挖掉點A，為滿足值域挖掉點B，但因滿足定義域挖掉A點，因函數值又少了一個值，這樣必然補上。根據定義，只能在B點垂直上方補點C，如圖2。

法三：這種方法思路與法二不同，不同的是圖像與X軸有3個交點，為滿足值域要挖掉3個點B1、B2、B3，而此時定義域又少了3個點，為了滿足函數定義域，必須還要補上，那么把 B1、B2、B3對應上方3個點補上，如圖3。

這3種方法都在圍繞函數定義，若定義不清楚、不理解定義，那么像法二法三中如何補上漏掉的點，就無從下手。我認為，無論對于函數概念的教學，還是為加深對概念的理解，這都是一個好題。主要有以下4個優點。

優點一：題目設計形式有一定的開放性。如第一問，圖像的畫法不唯一，在不同中找出共同點，同學通過對比發現不同，會問：到底哪個對？這樣很自然深入思考，重新思考概念的含義，尋找解題突破口。

優點二：這個問題是建立在集合觀念之上的，加深對集合在數學中的重要性印象，也會對定義域、值域、解析式這三個要素加深理解。學生會明白：要確定一個函數，必須三個要素都確定。通常定義域和解析式確定了函數就確定了，而僅由定義域和值域確定不了函數。

優點三：這個問題可以強化對概念中映射的理解，特別是對定義域中的每一個取值在值域中都有唯一的像和它對應的理解。該題是函數概念教學中一個非常好的例子。

優點四：第一問會做，然后提出第二問來個歸納總結：圖像滿足但和不能在圖像上。但是，由第一問解答過程可知，一定要保證和函數定義相符合，多挖的點要補上。因此，解題過程中，思維要嚴密，否則就出錯。

總之，該題型開放，緊扣定義，加深理解集合上的函數定義，同時考察了思維的嚴密性。