用算法思想指導高三復習備考

算法一詞源于算術，現代意義上的算法通常指可以用計算機來解決一類問題的程序和步驟。在信息社會中，越來越多的事情都由計算機完成，而計算機完成任何一次任務都需要算法。因此，算法既是計算機科學的基礎，又是計算機科學的核心。算法的基本思想是按照一定的規則一步步解決某一類問題的程序化思想。事實上，人們一直在利用算法思想解決問題。在中學數學課中，每個數學問題都對應一個算法，特別在高中復習備考中，老師應引導學生從算法角度去觀察、思考問題。

一、高考對運算能力的要求比較高，而學生這方面比較弱

我覺得，引導學生從算法角度去認識、去做，會好一些。在高考中，運算能力的高低決定做題速度，而速度的快慢直接影響成績。在平常復習中，運算很容易被學生忽略，但一次次面對考試中丟分，有些學生長吁短嘆、束手無策；作為老師應該幫助學生從算法角度去分析問題，使學生認識到算法思想的重要性，并逐步能夠運用算法思想解決一些實際問題，從而幫助學生全面的理解運算，更好地認識算法和算理。按照各種運算法則進行加、減、乘、除等各種運算，形成一些基本的計算技巧，這是數學學習的一個方面。在此基礎上，還需要在運算中嘗試構造、設計，選擇一個合理的算法，通過給一個問題的不同算法，比較這些算法的優劣，并作出選擇，從而提高運算的效率，這是全面提高運算能力的過程。下面舉一個三角函數的例子：

（2011年四川高考）已知函數f（x）=sin（x+ ）+cos（x- ），x∈R.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）= ，cos（β+α）=- ，0<α<β≤ .求證：[f（β）]2-2=0.

本小題考查三角函數的性質，同角三角函數的關系，兩角和的正、余弦公式、誘導公式等基礎知識和基本運算能力，函數與方程、化歸與轉化等數學思想。在教學過程中，引導學生這樣去分析第（1）問：首先看問題是求周期的最值，那么聯想所學知識將它化為相應形式才能解決，然后圍繞目標設計合理算法，觀察、分析。抓住角的關系，靈活運用誘導公式轉換為角的三角函數，這是求解的關鍵。當然，也可以和差角公式全面展開，然后再化。顯然第二種算法沒前者好。而對于第（2）問，要先分析再確定解法思路，最后形成算法。問題是證明等式，而條件是余弦的和差角，又有范圍，設想一下，能否求出β角。通過分析可以，那么問題就可以解決。然后形成算法：第一步解出2cosαcosβ=0，第二步由范圍求出β，第三步通過計算，問題得證，最后按照分析的算理，由算法步驟去整理過程。

（Ⅰ）解析：法一：f（x）=sinxcos +cosxsin +cosxcos +sinxsin = sinx- cosx=2sin（x- ）， ∴f（x）的最小正周期T=2π，最小值f（x）min=-2. 法二：f（x）=sin（x+ -2π）+sin（x- + ）=sin（x- ）+sin（x- ）=2sin（x- ）， ∴f（x）的最小正周期T=2π，最小值f（x）min=-2.

（Ⅱ）證明：由已知得cosαcosβ+sinαsinβ= ，cosαcosβ-sinαsinβ=- ，兩式相加得2cosαcosβ=0，∵0<α<β≤ ， ∴cosβ=0，則β= . ∴[f（β）]2-2=2sin2 -2=0.

二、形成算法思想，有條理地思考問題

在復習中，老師要通過有計劃、按步驟解答問題，使學生形成算法思想，形成有條理地思考和數學化地表達思考的能力。學生在數學學習中，特別對于證明問題，時常思維混亂，沒有條理性。

例如：已知，a≥-1，求證三個方程：x2+2ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數根。

老師可以這樣引導：先看問題含有“至少”這樣的字眼，提醒學生用反證法嘗試，因為這是反證法適用類型的特點，然后按反證法去考慮解答，帶領學生審題，在實數范圍內一元二次方程有無實數，由判別式是否大于等于零確定。最后形成算法：第一步反設，第二步證謬，第三步下結論。解答如下：

證明：假設三個方程都沒有實數根，則：

（4a）2-4（-4a+3）<0（a-1）2-4a2<0 ？圯（2a）2-4（-2a）<0- 或a<-1 -2

三、算法是一類問題的通法

在復習中，通法教學是尤為重要的。在高三復習階段，學生經過大量的練習，每一個考點都反復練過，題型很多，大多數同學做著新的忘了舊的，有些問題一次、兩次、三次總是錯，使學生有力不從心之感。這時，老師應該引導學生“舉三反一”，做好同一類問題的歸納總結，形成一類問題的通法。這樣不但可以減少學生的工作量、提高效率，也可以迅速提高成績。

例如，數列是高考中的重點，可以領著學生總結歸納形成通法。

①一階線性遞推公式an+1=pan+q（p、q為常數，P≠0，P≠1）。此類數列解決的思路是，運用化歸與轉化思想將其轉化為等比數列求解，具體轉化途徑是分離常數法或作差法。

②一階分式遞推公式an+1= （c、d為非零常數）。此類數列解決的思路是，運用化歸與轉化思想將其轉化為等差、等比數列求解，具體轉化途徑是取倒數法。

③一階遞推公式an+1=pan+f（n）（p為常數，P≠0，P≠1）。若f（n）=qn（q≠0，q≠1），此類數列解決的思路是，運用化歸與轉化思想將其轉化為一階線性遞推公式求解，具體轉化途徑是兩邊同除以qn+1得： = + ，令bn= ， ∴ bn+1= bn+ ，則轉化為一階線性遞推公式。

④二階線性遞推公式an+2=pan+1+qan（p、q為非零常數）。此類數列解決的思路是，運用化歸與轉化思想將其轉化為等比數列求解，具體轉化途徑是運用待定系數法進行轉化。

學生掌握以上類型，再遇到數列由遞推關系求通項問題，就不會覺得為難了。對于考試的重點內容、重點題型更要注意通法，比如圓錐曲線問題，避免學生求新、求異，從資料上照搬課本上沒有的定理、公式來解答常規問題，防止由于不是通法，別人不認同而丟分。

總之，算法是解題方法的精確描述，具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度的抽象性、概括性和精確性。從算法角度去看待高三復習備考，會有不一樣的收獲。