在數學中培養學生思維能力助學生成才

摘 要：數學與思維密不可分，在初中數學教學中，如何培養學生的數學思維能力，如何培養學生良好的思維習慣，如何充分調動學生思維的積極性，如何發揮數學訓練的思維優勢，進一步提高初中學生的數學素養，讓學生走出題海戰術和機械訓練的怪圈，是現階段初中數學教學中最緊迫的問題。教師要在教學實踐中激發學生的創造、類比、邏輯、發散思維，培養學生科學的思維方法，養成良好的思維習慣，重視學生思維能力的培養。

關鍵詞：創造性；發散性；類比；聯想；變式

隨著數學課程改革的不斷推進，其倡導的新觀念深刻地影響、引導著教師由重知識傳授向重學生思維能力培養轉變，由重教師“教”向重學生“學”轉變，由重結果向重過程轉變。學生的智力發展主要體現在思維能力的提高上，數學的抽象、直覺、想象等用以培養學生的思維能力的優勢，是其他學科不可以相比和替代的。因此，數學不僅要教會學生掌握必要的數學知識，更重要的是通過數學知識的傳授培養學生良好的思維習慣，培養他們的思維能力。下面，筆者結合自身多年的畢業班數學教學實踐，談談自己在這方面的體會。

一、創設情境，培養創造思維

學習的最好動力，是對學習材料的興趣。教師精心創設的問題情境，有利于調動學生的積極性，使之主動參與到教學活動中。為此，教師要在學習內容的趣味性、探究性、適應性和開放性上下工夫，留給學生足夠的活動時間和思維空間，從而激發他們的創新意識和能力。思維通常是由問題的情境產生的，在數學課堂教學中，應該積極創設問題情境，變傳授數學結論為知識發生發展的過程教學，使學生始終處于積極的思維之中。因此，在數學教學中，教師要盡可能地引入一些直觀、形象、生動的材料創設情境，營造氛圍。

例1 在“一元一次方程與實際問題”中，我是這樣創設情境的：東莞市兩大購物中心天虹和海雅為迎接“五一”，都進行促銷活動，其中天虹是全場物品打六折銷售，海雅百貨是實行買200送100的活動，請問在標價一樣的情況下，到哪家購物更合算？（此例的情景有利于激發學生的求知欲望）

例2 推導平方差公式，可以組織學生由“數”向“形”探索，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖1），把余下的部分拼成一個矩形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

圖1 圖2

在教師要求記憶的情況下，有些學生建立以公式本身的圖式表象為內容的條件反射：“（a+b）（a-b）”→“a2-b2”。而有些學生建立以聲音表象為內容的條件反射：

“平方差公式”→“a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方” 。最后進行變式訓練。例如：

（ a + b ） （ a - b ） = a2 - b2

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

（2x + y） （2x- y） = （2x）2-y2= 4x2-y2

由式子到式子的學習方式，割裂了數與式的關系。實際上，在初中數學里，式的本質是數，它是為了表示數而引入字母后的產物。通過此方式學習的學生并沒有真正建構起a和b的可變性觀念，大多數是由式子到式子，一見到超越變式訓練范圍的問題就不知如何是好，尤其是間隔了一段時間之后，這種學習盡管對一些常規的技能性問題是有效，但仍然擺脫不了機械學習的影子，時間長了，知識多了，很容易與完全平方公式（a±b）2=（a2±2ab+b2）混淆不清。其實，創造性思維能力的重點不是就解題而解題，而是使學生在做數學題中理解數學，培養應用數學的觀念，實現知識的延拓與創新。

由上述兩例可見，創設良好的問題情境是激發創造思維的有效方法。教師要善于把握學生的思維特點，在教學的重點、難點或關鍵處設計問題，創設情境，激發學生求知的欲望，啟動學生的思維，提高學生自主探究的能力。

二、合理類比，培養類比思維

類比是數學推理的常見手段，它的實質是根據兩對象之間的相似，把信息從一個對象轉移到另外一個對象。類比不僅在數學發現方面有著顯著作用，在解題教學、考查學生能力等方面也有顯著效果。一些數學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生舉一反三、由此及彼，靈活地應用所學知識。

例3 在講二次函數的最大利潤問題時，我先講一元二次方程的利潤問題：某商品的進價為每件40元，售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；要想每周獲得6090元的利潤，該商品應如何定價？

解：設商品定價為x元，則單件商品利潤為（x-40）元，銷售量為[300-10（x-60）]件，根據題意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接著問學生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤”改成“要想每周獲得y元的利潤”，那又怎樣列式呢？采用類比思想，同學們非常容易得出：

y=（x-40）[300-10（x-60）。

我接著又問同學們，如果把“要想每周獲得6 090元的利潤，該商品應如何定價？”改成“如何定價才能使利潤最大？”同學們自然而然想到只要把這個二次函數進行配方就能解決這個問題。

例4 計算：■+■+……+■。

分析：原式的結構很容易聯想到數值計算中類似 ■=■-■的“裂項相消法”，結構上的這種相似性是解題思路的源泉所在。

解：原式=■+■+……+■，=■-■+ ■-■+……+■+■， =■-■，=■。

綜上兩例可見，運用類比能拓寬學生的視野，啟發學生思維；運用類比，多方縱橫聯想，能達到搭橋開路的作用；運用類比，使學生憑借以往的經驗、知識技能和思想方法，對新舊知識進行分析比較、探索、研究，能發現其共同特點。抓住知識之間的內在聯系，順理成章，使學生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又創設了情境，發人深思。此外，類比還可以使學生的思維得到有效開發，提高思維的靈活性，使各部分知識相互變通，起到觸類旁通的作用。

三、聯想遷移，培養邏輯思維

想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。聯想是想象力的重要組成部分，培養聯想能力，是數學教育的重要任務，也是培養非邏輯思維的關鍵所在。

例5 關于x的不等式|x-5|+|x-4|

本題的基本方法是討論去掉絕對值，得出|x-5|+|x-4|？叟1，因此得出a？叟1。如果聯想到絕對值的幾何意義，那么本題|x-5|+|x-4|就可以理解為“數軸上動點x到定點4和5的距離的和”，而此距離之和有最小值1。類似地，問題“|x-5|-|x-4|”又可以理解為“數軸上動點x到定點4，5的距離的差”。

舊知是思維的基礎，思維是通向新知的橋梁。由舊知進行聯想和類比，也是尋求正確思維方向的有效途徑。聯想和類比，就是把兩種相近或相似的知識或問題進行比較，找到彼此的聯系和區別，進而探究出問題的正確答案。

四、變式延伸，培養發散思維

創造能力=知識量×發散思維能力。思維的發散性，表現在思維過程中不受一定模式的束縛，從問題個性中探求共性，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定式的思維形式。變式延伸中的“一題多解”“一解多題”“一題多變”是訓練發散思維的有效途徑。

通過對一道題進行多方位、多層次、多角度的變式延伸，引導學生從一道習題抓住一類問題，從特殊問題抓一般問題，這樣不但能激發學生學習的興趣，而且能取得舉一反三，達到訓練思維能力的作用。所謂變式延伸就是通過將原題中的條件、結論、內容、圖形等作適當變換，解決一類問題的變化，逐步培養學生深入反思數學問題的習慣，善于抓住數學問題的本質和規律，進而培養學生的發散思維。

例6 求證：順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：順次連結任意四邊形各邊中點可以得到什么四邊形？并證明你的結論。

變式2：如圖3：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連結E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形。連結AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形。如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：

當四邊形ABCD的對角線滿足____時，四邊形EFGH為菱形；

當四邊形ABCD的對角線滿足____時，四邊形EFGH為矩形；

當四邊形ABCD的對角線滿足____時，四邊形EFGH為正方形。

本例題變式1的訓練條件具有開放性，變式2的訓練結論具有歸納性，使學生對中點四邊形的關系更清晰，思維訓練更豐富，基本達到了熟練論證特殊四邊形。教師應該讓學生充分認識例題本身所蘊涵的教育價值，學會怎樣進行數學思維，怎樣運用數學知識進行思考、解題，如何表述自己的解題過程等。教師只有充分地利用好例題，充分挖掘發揮例題的潛能，才能達到優化學生的認知結構，開闊學生的眼界，活躍學生的思維，提高學生解題能力的目的。

數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，適當的變式延伸，可以給學生提供一座橋，讓學生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡。這里的最近發展區要把握得好，“變式”就能避免讓學生反復地練習同一題型，避免學生在低水平層次之間反復的重復，從而使學生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養。

綜上所述，對一道數學題或聯想，或類比、或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論。同時，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決，也有助于學生應變能力的養成，培養學生發散思維的形成，增強學生面對新問題的自主探究能力。學生通過較少的練習能獲得較大的收獲，不僅可以減輕學生負擔，切實提高教學質量的目的，還可通過題目的拓寬，加深變化，培養學生的創新思維，使學生在探索命題演變的過程中極大豐富他們的發散性思維。

五、滲透數學思想和方法，培養思維的綜合能力

從目前初中數學教學現狀來看，可能受到應試教育的影響，課堂教學更多地以“問題教學”為主導，上課講題目，課后做題目，考試考題目。特別是畢業班的教學，即使上課講題目時，也是只講解題步驟，不分析思維過程。對學生的要求偏重于知識結果、解題技能的掌握，而很多數學思想方法的教學卻遭到忽視。又由于數學思想方法比數學基礎知識更抽象、更概括，具有隱蔽性，所以學生較難以從教材中直接獲取，這大大制約了學生的數學思維的有效發展。因此，教師應轉變觀念，對數學思想方法的教學應予以高度重視，通過認真鉆研教材，挖掘出蘊涵在數學知識之中的數學思想方法，在教學中隨機應變，為學生創設適宜環境，讓他們在課堂教學的潛移默化中領會和掌握基本的數學思想方法，提高自身的數學思維能力。

在數學教學體系中，習題千變萬化，要真正鞏固和深化課改成果，使在題海里疲于奔命的學生真正解脫出來，只有在數學課堂教學中滲透數學思想方法，才能培養學生思維的靈活性。中學數學中常用的思想方法包括函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等，還有很多基本的數學方法如定義法、配方法、換元法、待定系數法、反證法等。學生掌握了這些基本數學思想方法，能使數學更易于理解和記憶。因此，教師只有將這些思想和方法滲透給學生，才能提高學生的綜合能力。訓練的具體方法可以結合數學課堂教學，針對數學思維活動過程中展示出來的數學思想方法不失時機地進行提問與討論，啟發引導學生領悟出思想方法和進行總結提煉，也可以有意識地組織學生進行必要的解題訓練，結合分析、解決問題的思維過程提煉出數學思想方法等。

總之，數學是一種文化，它既是諸多門學科的基礎與工具，又是一種思想方法。數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵于數學知識的發生、發展和應用的過程中。教師唯有讓學生在學習數學知識的同時掌握基本的數學思想方法，才能為他們的自主學習和主動探究創造有利的條件。在教學過程中，學生是主體，教師要有意識地在教學中進行數學思想方法的滲透，以引導學生領會基本的數學思想方法。學生一旦掌握了基本的數學思想方法，則可在較高層次上主動探求新知，學生的數學素養和思維能力才能得到穩步提高，才能為他們的可持續發展打下堅實的基礎，從而成為社會有用的人才。

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