由近及遠“看”例題

一道好的例題具有基礎(chǔ)性、指導(dǎo)性、典型性、示范性、拓展性，是課本的精髓，它一方面加深了同學(xué)們對概念、知識的理解，另一方面也是培養(yǎng)同學(xué)們諸多能力的重要載體.同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)最大限度地發(fā)揮它的引領(lǐng)和輻射作用，鞏固基礎(chǔ)，舉一反三，形成知識網(wǎng)絡(luò)，獲得數(shù)學(xué)思想方法.

題目1 （《蘇科版（數(shù)學(xué)）》七年級上冊P27例5）求下列各數(shù)的絕對值：

+6，π，-3， -2.7，0.

解答略.

絕對值是初中數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，對剛進中學(xué)的同學(xué)來說也是個難以理解的概念.正確地求一個數(shù)的絕對值，要經(jīng)歷“判斷——選擇——確定”的過程.判斷，即先判斷這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)或零；選擇，即根據(jù)這個數(shù)的性質(zhì)選擇相應(yīng)的法則；最后根據(jù)選定的法則來確定這個數(shù)的絕對值.此題可做如下拓展：

例1 如果a、b、c是非零有理數(shù)，求■+■+■的值.

【解答】此題主要考查絕對值的意義. 因為a、b、c是非零有理數(shù)，可以為正也可以負，所以它們的絕對值有兩種情況，或者是它們的本身，或者是它們的相反數(shù). 此題可分為以下四種情況求值.

當a、b、c的絕對值都取本身時，原式=3.

當a、b、c的絕對值有兩個取本身時，原式=1.

當a、b、c的絕對值有一個取本身時，原式=-1.

當a、b、c的絕對值都取相反數(shù)時，原式=-3.

例2 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡c-b+a-c+b-c.

【解答】此題的難點是對c-b的化簡，可用兩種方法化簡.

方法一：由數(shù)軸可知c

方法二：c-b可看做數(shù)軸上表示c、b的兩點間的距離，因此c-b=b-c=b-c.原式=b-c+a-c+b-c=a+2b-3c.

【說明】通過對上述例題的延伸與拓展，使同學(xué)們在不斷的引申、轉(zhuǎn)換、綜合中更深刻地理解絕對值的相關(guān)知識，掌握規(guī)律，培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的能力.

題目2 （蘇科版（數(shù)學(xué)）七年級上冊P38例7）巡道員沿一條東西向的鐵路進行巡視維護.他從住地出發(fā)，先向東走了7 km，休息之后又向東走了3 km，然后折返向西走11.5km.此時他在住地的什么方向？與住地的距離是多少？

【簡解】將鐵路看成數(shù)軸，巡道員的住地看成原點，規(guī)定向東為正，根據(jù)題意，可得（+7）+（+3）+（-11.5）=-1.5，所以此時他在住地的西邊，離住地1.5 km.

本題從生活情境出發(fā)，提出問題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)軸將形和數(shù)結(jié)合，用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，輕松求出結(jié)果，同時讓同學(xué)們感受有理數(shù)運算法則的合理性.此例題給我們提供了用數(shù)形結(jié)合來解題的范例.數(shù)軸在數(shù)與形之間起著中轉(zhuǎn)站的作用，它是研究數(shù)學(xué)問題的一個重要工具.它是數(shù)和形結(jié)合的起點，不僅使數(shù)與直線上的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，而且還揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系.對于某些代數(shù)問題，若能靈活運用數(shù)軸這個工具，不僅能化難為易，化繁為簡，化抽象為具體，而且解法直觀、明快.下面從幾道例題來談?wù)剶?shù)軸在代數(shù)問題中的妙用：

1.運用數(shù)軸進行有理數(shù)大小的比較

例3 已知a>0，b<0，且b>a，試比較a、-a、b、-b的大小.

【分析】若直接比較上述4個數(shù)的大小有一定的難度；若把它們在數(shù)軸上表示出來，利用數(shù)軸的直觀性，它們的大小關(guān)系將一目了然.

【解答】∵a>0，b<0，

∴在數(shù)軸上表示數(shù)a，b的點分別在原點的右邊和左邊.

∵b>a，所以表示數(shù)a的點到原點的距離小于表示數(shù)b的點到原點的距離.

∴a、-a、b、-b這4個數(shù)在數(shù)軸上的排列順序如圖2所示.觀察數(shù)軸可知b<-a

【說明】解決此題時，要注意數(shù)a表示有理數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以是零，不能認為數(shù)a一定是正數(shù)，-a一定是負數(shù).本題巧妙地用數(shù)軸實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.

2.運用數(shù)軸解決動點問題

例4 一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，…，依此規(guī)律跳下去，當它跳第100次落下時，落點處離O點的距離是 個單位.

【分析】本題若從“數(shù)”的角度考慮顯然是較為復(fù)雜的，其中涉及方向和距離，而數(shù)軸恰好是刻畫方向和距離的最有用的工具，因此可以將這個跳蚤跳動的次數(shù)與位置借助數(shù)軸表示，從而解決問題.

【解答】將這個跳蚤跳動的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來表示（如圖3所示），以O(shè)點為原點，原點向右為正方向.第1次向右跳1個單位，其位置表示的數(shù)為1；緊接著第2次向左跳2個單位，其位置表示的數(shù)為

-1；第3次向右跳3個單位，其位置表示的數(shù)為2；第4次向左跳4個單位，其位置表示的數(shù)為-2.依此規(guī)律跳下去，第6次，第8次，其位置表示的數(shù)為-3，-4.第100次跳后落下，其位置表示的數(shù)為-50，故此時落點處離O點的距離是50個單位.

【說明】借助數(shù)軸，將跳蚤的落點分別用正數(shù)和負數(shù)表示，可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地時，落點處離O點的距離.

波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué).”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注重發(fā)揮教材中例題的作用，學(xué)會通過適量的習(xí)題拓展，達到最大限度的提升，這對同學(xué)們理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展智力都是至關(guān)重要的.