《多邊形的面積復習》教學設計

教學內容

人教版小學數學五年級上冊P.121或蘇教版小學數學五年級上冊P.122。

教學目標

1.整理多邊形的面積計算公式、推導過程，多角度溝通它們之間的相互聯系，形成良好的認知結構，體會轉化的數學思想。

2.將數學問題與生活實際相聯系，熟練應用所學知識解決簡單實際問題，形成積極的學習情感。

教學過程

一、 聯系生活，以“境”引入

1.談話：學校的北門內有一塊空地，學校一直都想把它給利用起來，張老師給這塊地做了一個規劃，把這塊地分成了幾塊區域（課件出示規劃圖）。如果讓你作為工程負責人來建設這塊地，你會考慮到什么因素？（面積、價格等）

2.考慮的因素可能會比較多，但是一定會考慮到這幾塊多邊形土地的面積，那咱們已經會計算哪些多邊形的面積了呢？（課件逐一出示圖形）

評析：多邊形面積計算復習課，一般會直接回憶面積公式并進行計算練習，缺乏與現實生活的聯系，不足以喚起學生的學習熱情。從學生每天見到的學校北門的一塊空地入手，自然貼切且能引起學生的學習需要。

二、 回顧梳理，以“理”求清

1.還記得它們的面積怎么算嗎？先說說字母公式，再解釋一下這個公式。（隨學生的回答課件逐一出示公式）

2.數學是一門很嚴密的學科，講究來龍去脈，你還能記得這些公式是怎么來的嗎？請同學們把你自己整理出來的推導過程與同桌交流一下。

3.全班交流。（課件隨學生的回答演示推導過程）

（1）平行四邊形面積公式：把平行四邊形轉化成長方形推導。

追問：怎么轉化？（展示兩種轉化過程），是隨意地剪開再拼嗎？（沿高剪開）目的是什么？（產生直角才能形成長方形）轉化好之后，怎么推導出公式的？

小結：平行四邊形面積公式是由平行四邊形轉化成長方形推導出來的，在轉化的過程中形狀變了但面積不變，這叫“等積變形”轉化。

（2）三角形面積公式：把三角形轉化成平行四邊形推導。（展示轉化過程：兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。）

引導：轉化好之后，怎么推導出公式的？

指出：這種轉化與平行四邊形轉化成長方形不同，叫做“擴倍”轉化，所以要除以2。

追問：能否也通過 “等積變形”轉化成平行四邊形呢？（動態展示如圖1）能根據這種轉化推導公式嗎？

（3）梯形面積公式：把梯形轉化成平行四邊形推導。（展示轉化過程：兩個完全一樣的梯形旋轉后拼成一個平行四邊形）

引導：怎么推導出公式的？

追問：這是什么轉化？（擴倍）

設問：能否也通過 “等積變形”轉化成平行四邊形呢？（動態展示如圖2）現在怎么推導公式？

（4）長方形的面積公式：直接推算。

設問：長方形的面積公式是最先學的，看圖回憶一下（如圖3）。誰還記得？

（5）正方形的面積公式：直接由長方形推出來的。

正方形因為和長方形的特殊關系，是由長方形公式直接推導的，怎么推的？

4.根據大家的回憶，這些公式是這樣來的？（課件動態出示圖4）你會看到兩個什么關鍵詞？（推導，轉化）先有轉化后有推導，都先轉化成什么？（學過的圖形）

指出：新知識轉化成舊知識，再由舊知識推導出新知識，這是我們學習數學的重要方法。

5.同學們自己整理時也畫出了不同的關系圖，上臺展示一下好嗎？（投影展示）

指出：通過這樣的關系圖，在新、舊知識間建立起了聯系，這是一種很好的復習方法。

評析：復習和梳理，首先應該是學生自我整理的過程。比較恰當的教學方式應是，課前自主梳理，根據各自梳理的內容和方式，再進行交流和引導。學生自主梳理中會出現三種不同的層次：最低層次，僅僅理出了各種平面圖形面積計算的方法或公式；一般層次，不僅理清了面積計算的方法還理清了各圖形面積公式的推導過程；最高層次，能根據各圖形面積計算公式的推導過程用個性化的方式恰當地表示出它們之間的聯系。

課堂上對各自的梳理內容進行交流，按“結論——由來——聯系”的脈絡予以引導，其意義就是在“理”中讓不同層次的學生都獲得對各圖形面積計算的清晰認識，即以“理”求清。

三、 溝通聯系，以“通”達融

談話：其實，我們換個角度看，這些公式之間還有另外一些聯系。

1. 梯形與三角形面積公式。

（1）出示梯形：它的面積怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

（2）課件展示上底不斷縮短變成三角形的過程：如果還用這個公式計算面積，你有什么看法？（要把公式中一個底變成0）

（3）用0代替一個底，再整理一下，看看變成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

2. 梯形與平行四邊形面積公式。

（1）把這個梯形再變一變（課件展示上底不斷變長成為平行四邊形的過程），如果還用梯形的這個公式，你有什么建議？（要把上底、下底變成同一個字母）

（2）把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，變成了誰的公式？（出示公式 S=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah）3. 梯形與長方形面積公式。

（1）當然還可以再變，（課件展示上底向兩邊同時變長成為長方形的過程）還能用梯形這個公式嗎？（上底下底變得相同，高用b表示）

（2）再整理一下，變成了誰的公式？（出示公式 S=（a+a）b÷2=2ab÷2=ab）

4.小結：我們發現，梯形面積公式可以作為這幾個圖形的通用公式，當梯形的一個底變成0時，梯形公式就變成了三角形公式（板書：b=0時——S=ah÷2），當上底與下底一樣長時，梯形公式就變成了平行四邊形公式（板書：b=a時——S=ah），進一步還可以變成長方形的面積公式。（S=ab）

評析：既然是對一個階段所學內容的整理和復習，顯然，在所學知識彼此間建立關聯，形成結構，融會貫通，才應該是復習課的要旨所在。三個面積公式，除了在縱向推導過程中存在千絲萬縷的聯系外，在橫向比較時會發現，它們的計算公式在形式上也有相通之處，而這種相通之處如果能夠被學生所感受和理解，那么他們就更能深刻地把握其內涵。基于此，本節課中筆者嘗試引導學生換一個角度整理，從梯形的變形入手，通過直觀圖形的比較和抽象公式的溝通，橫向打通了梯形和三角形公式、平行四邊形及長方形之間的聯系。

四、 訓練拓展，以“思”得慧

1.根據這幾個公式之間的關系，你能很快判斷出下面幾個圖形的面積有什么關系？（課件出示圖5）

你是怎么想的？（可以全看成梯形，前兩個圖形上底相同、下底相同，高也相同，面積相等；后兩個圖形上底下底的和相等，高也相等，面積相等；后兩個圖形上下底的和是前兩個的一半，高相等，面積是前兩個圖形的一半）

評析：學生只有從多邊形的面積公式間的聯系、組成公式的要素之間的聯系入手去進行思考與判斷，而不是割裂其聯系機械地依據公式進行計算，才能達到融會貫通的境界。

2.在點子圖中分別畫出面積是12的三角形、梯形。想一想怎樣畫得又對又快。

（1）交流三角形的畫法。

課件出示底是6厘米、高是4厘米的平行四邊形。設問：在這個平行四邊形中如何得到面積是12的三角形？只有這一種分法嗎？（課件展示多種分法）你能得到一個什么結論？（可以畫出無數個面積是12的三角形，等底等高的三角形面積相等。）

課件展示底是8厘米、高是3厘米的平行四邊形，設問：能得到多少個面積是12的三角形？（無數個）這無數個三角形有什么共同之處？（也是等底等高）

追問：兩個三角形等底等高嗎？說明了什么？（面積相等的三角形不一定等底等高）底和高應滿足什么樣的關系？（積是24）

（2）交流梯形的畫法。

出示底是6厘米、高是4厘米的平行四邊形：能不能得到啟發，很快地畫出面積是12的梯形？上底下底還可能是別的情況嗎？（課件展示不同分法）這幾種分法相比，你發現什么？（高相等，上下底的和相等）

出示底是8厘米、高是3厘米的平行四邊形：能得到面積是12的梯形嗎？與剛才的這些梯形相比，你又發現了什么？（既不等底也不等高）上、下底和高有一個共同的聯系，是什么？（上下底的和乘高必須等于24）

評析：一般來說，學生容易將決定“面積相等”的范疇窄化為“等底等高”。通過此環節的交流，讓學生在畫中關注“形”，在“形”中聚焦“數”，在形與數的思考中厘清了面積與影響其變化的長度變量之間的關系。

3.再次出示規劃圖，現在我們能算出每一塊區域的面積嗎？

評析：此練習的設計與課的開頭相呼應，圖中包括了已學的五種平面圖形，讓學生從這幅平面圖中提取有用數據，再運用面積公式計算每一個區域的面積。這比直接告訴學生圖形和數據，然后用面積公式計算更具有現實意義。

五、 總結提升，把握方法

今天我們整理了多邊形的面積計算，進一步加深了對這些知識的理解。希望同學們學完新知識后，能在新舊知識及新知識之間建立起聯系，這樣才能學得更好。