讀“圖”教學：讓幾何直觀自然地生長

在生活節奏越來越快的當下，海量的信息沖擊著現代人的閱讀方式，人們很難靜下心來心平氣和地看書，“讀圖”成了人們樂于接受的接受信息方式，包括靜態和動態的圖片在我們的生活中顯得越來越重要。這里講的“讀圖”，是讀者對以圖形或圖像為主體內容的讀物的一種閱讀喜好。圖形可以幫助刻畫和描述問題；圖形可以幫助發現尋找和解決問題的思路；圖形可以幫助表述和記憶一些結果。學生幾何直觀能力的培養在一定程度上依賴圖形教學。

一、 強化圖形特點，建立數學現實與抽象圖形的聯系

表象是幾何直觀思維的基礎元素，學生大腦中的表象越豐富，越容易把抽象的問題轉化成直觀的表象，也容易從直觀的表象抽象出本質特征。所以，當圖形成為視覺和直覺的橋梁時，培養學生幾何直觀能力就水到渠成了。

1.實物直觀演示，貫穿視覺思維與直覺思維的通道。通過實物、模型、圖形的觀察、測量、拼擺、畫圖、制作、實驗等活動或者是適當借助多媒體手段，幫助學生積累豐富的幾何表象。例如，蘇教版六年級《分類計數》，將棱長為3cm的正方體表面刷上紅色的漆，再將其分割成棱長為1cm的小正方體。其中，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個？通過實物直觀演示引導學生分別以正方體的頂點、面、棱長為標準進行分類計數，形成了強烈的視覺印象，使學生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動經驗。

2.圖形直觀操作，強化實物操作與直觀表象的體驗。對幾何形體的研究往往需要學生擺實物、做模型、割補畫圖等。圖形的直觀操作分為實物操作和圖形操作兩種。例如，蘇教版四年級《認識三角形》中，教材中運用了多種方式來體驗三角形的特征，分別運用了多種操作活動幫學生積累豐富的幾何事實，獲得對基本平面圖形的直觀經驗。

3.運用圖形直觀，打通數學概念與符號表征的障礙。利用圖形直觀理解數學事實。通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程，使學生從算法的相互作用與矛盾中慢慢形成符號表征。例如，認識分數、小數、百分數時，借助正方形分別來表征不同的數，既加深了對數的理解，溝通了數之間的聯系，又形象地用圖形將數學概念表征出來。

二、 巧用圖形優勢，實現表象系統與言語系統的轉換

幾何直觀將抽象的數學文字語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，從而實現表象系統與言語系統的靈活轉換，有助于加強對知識的理解，進而促進學生的數學理解。

1.厘清“問”題，培養畫圖的能力。年齡的局限性讓學生對一些抽象度較高、復雜的、難于理解的數學知識的學習存在一定難度。這時，引導學生適時用好圖形工具，畫一畫、想一想，在涂涂抹抹中尋找解決問題的關鍵點，最終形成屬于自己的解決問題思路。例如，蘇教版六年級下冊第6頁習題：2005年我國公布了新的個人收入所得稅征收標準，個人月收入1600元以下不征稅，月收入超過1600元，超過部分按下面的標準征稅。本題中，畫圖將抽象的數學問題具體化、形象化。教師鼓勵學生畫圖分析和解決問題，尤其是學生不拘格式的個性畫圖，也有利于學生將用畫圖思考問題形成一種習慣。

2.看“圖”想事，突出思維的過程。當學生將數學問題轉化成“圖”以后，會利用“圖”來敘述原來的問題。借助學生自己畫出的“圖”，深化數學問題的理解，幫助學生突破問題解決上的難點，以期真正把握問題的實質內涵。例如，蘇教版六年級《解決問題的策略》例2：全班42人去劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？教材在處理本題時：

（1）先假設 “10只船全是大船”，結合圖例可知，一共多坐了8人。而把小船假設成大船，每條船就多坐了2人，用8÷2就可以算出有4條小船，而大船也就是6條。

（2）假設“5條大船和5條小船”，算出總人數是40人，發現比總人數少2人，這時需要怎么辦？在反饋過程中，絕大多數的學生都拿出了證據——圖例，并在圖上作出了調整，少2個人，只要將一只小船換成大船就可以了，從而解決問題。

（3）還可以用什么方法找出答案？小組里交流。在交流時學生都能根據假設的情況作出相應的圖例，再去調整大、小船的只數，從而很快解決問題。

3.由“圖”說理，突出數學的表達。小學階段常用的圖包括線段圖、樹圖、集合圖、示意圖等。例如，蘇教版四年級《解決問題的策略》中有一道行程問題：小明和小芳同時從家里出發走向學校，兩人經過4分鐘在校門口相遇，他們兩家相距多少米？當學生利用“圖”來進行認真思考后，學會將自己的思維過程表達清楚，并努力理解他人的思考方式，期望多種思維方式的融合和碰撞，最終達到突破思維瓶頸的目的。

三、 靈活運用圖形，達到圖像表征與基本概念的統一

圖形的變換和運動是小學數學階段的主要學習任務，同時變換和運動也是數學學習的一種思想和方法。

1.以基本圖形為主，夯實圖像表征的基礎。幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題，所以應該把掌握、運用基本圖形解決問題作為教學任務，貫穿在數學教學和學生學習的始終。所謂基本圖形就是幾何概念所對應的圖形。如直線、角、三角形、長方形、正方形、菱形，圓等。例如，蘇教版三年級《認識長方形和正方形》習題中分別安排了2個題目，鞏固了長方形和正方形的基本特征以及它們之間的聯系，又為學習三角形打下基礎，同時為學習圖形面積公式埋下伏筆。在教學中要有意識地強化對基本圖形的掌握，建立圖形的表征，為靈活運用這些基本圖形去發現、描述問題打下基礎。

2.以圖形變換為主，拓寬圖像表征的寬度。在小學數學課本中，需要學生掌握的基本圖形都是“對稱”圖形。例如，長方形、正方形、圓等。另一方面，在認識其他圖形時，往往是由基本圖形變換而來的。例如，圖形的平移、旋轉、反射等運動，使得“點動成線”、“線動成面”、“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以成為錐體等。在教學中，教會學生用變化的觀點認識、理解圖形是培養學生幾何直觀的一種途徑。

3.啟發聯想和想象，提升圖形表征的高度。聯想和想象是拓展學生幾何直觀思維空間的主渠道，是發展學生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五年級《圓的面積》中，教材中分別將圓分割為16份和64份，把剪開后拼成的圖形想象成一個近似的長方形，利用長方形的面積公式來推導出圓的面積公式。在學習過程中，發揮了學生對拼接后圖形的想象，同時也強調了基本圖形的重要性。

四、 善于構造圖形，尋找代數學習與幾何學習的平衡

數學家笛卡爾創造了直角坐標系，歐拉將七橋問題轉化成“一筆畫”的問題來思考。這些都是構造恰當的中介圖形，將抽象的代數問題幾何化、直觀化，再利用幾何圖形相關性質求解，問題就會直觀化、簡易化。

1.利用幾何圖形特征，記憶數學結果。小學階段學生的幾何學習處于非形式化演繹的階段，學生借助幾何直觀學習理解數學，是數學學習中的重要方向。甚至可以說，只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。例如，蘇教版六年級《平面圖形的面積》復習中，利用網絡圖加深對知識結構的認識。在教學中，引導學生借助幾何直觀來學習和理解數學，從而有效地觸摸到數學的本質，加強學生對數學的理解。

2.抓住問題的幾何特征，突破解題難點。日常解題要尋找代數問題的幾何特征，既實現了問題形式化的表達，又強調對數學本質的認識。抓住數學本質，打開數學模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實現解題突破和解題優化。例如，如果你是老師，有件緊急事情要通知同學，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘時間，能使多少人收到通知？大膽猜測一下。在教師的幫助下，借助于線段和點這樣的基本圖形來描述復雜的數量關系，并直觀地呈現出來，從而發現一些規律，即一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數，是第一次的兩倍。

3.避開代數的復雜運算，提升思維深度。借助幾何直觀，加強數學知識方法的理解，優化解題過程，就能避開代數的復雜運算和繁瑣推理。例如，蘇教版六年級《解決問題的策略》例1的“試一試”，計算：■+■+■+■。計算時，我們可以構造一個邊長為1的正方形（如下圖），要計算的正好就是正方形的一部分，這樣我們很容易得出計算的結果。

看似沒有任何關系的數學問題，轉化成一個圖形以后，不僅避開了復雜的運算，還提升了思維的深度。