追求數學綜合實踐活動的本真境界

“綜合與實踐”作為一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動，她基于已有的知識和經驗，經歷自主探索，在獲得深刻數學理解的同時，感悟基本數學思想，積累數學活動經驗，孕育良好的學科情懷。如何實現數學綜合實踐活動的本真境界？下面以《奇妙的圖形密鋪》為例談談自己的實踐與思考。

【教學片斷】

1. 實踐探究。

師：通過操作驗證知道有些圖形可以密鋪，有些圖形不能密鋪，你有沒有考慮這與什么有關呢？

生1：可能與圖形的形狀有關

生2：可能與圖形的邊有關，圓沒有邊也沒有角所以圓不能密鋪。

師：圓的邊是曲的再怎么靠也靠不到一起，圓確實不能密鋪。正五邊形的邊是直的也有角，為什么也不能密鋪呢？而平行四邊形、等邊三角形、等腰梯形的邊是直的也有角卻能密鋪，你覺得圖形能否密鋪到底與什么有關呢？

師：實踐出真知，先用等邊三角形來實驗（用等邊三角形動態呈現密鋪過程），觀察到了什么？

生3：6個等邊三角形鋪在一起，6個角正好圍成一圈。

生4： 6個等邊三角形鋪在平面上，圍繞公共頂點正好形成一個周角。

師：等邊三角形一個內角是60°度，3個60°角拼在一起正好形成180°平角，再加上三個這樣的角也是180°，合在一起正好形成360°的周角，等邊三角形可以密鋪。

生5：看來真的和角的度數有很大關系呢！

師：通過動手鋪一鋪，已經知道 可以密鋪，說說平行四邊形為什么可以密鋪？

生6：我想象平行四邊形向上平移，向右上平移，向右平移，圍繞公共頂點可以鋪成360度周角。

生7：由于等邊三角形可以密鋪， 平行四邊形可以分成兩個三角形，所以平行四邊形也可以密鋪。

生8：平行四邊形內角和是360°，四個角圍繞在公共頂點形成360°周角可以密鋪。

追問：等腰梯形呢？正五邊形呢？為什么不能密鋪？

一個內角108°，2個內角拼起來216°，3個內角呢？再放一個角呢？（重疊，結合講解動態呈現正五邊形鋪的過程。）

2.解釋應用。

師：回過頭來看一看（再現課始出示的用正方形、長方形、正六邊形瓷磚密鋪的地面）：生活中的這些地面分別是由哪些圖形密鋪而成的？

為什么正方形、長方形、正六邊形可以密鋪？（出現了不同的意見。）

師：（交互式白板動態演示正六邊形密鋪的過程）正六邊形一個內角是120°，2個鋪在一起呢？（240°）三個鋪在一起呢？（360°）三個正六邊形鋪在一起形成360°周角，所以正六邊形可以密鋪。

3. 拓展延伸。

（1）深入探究正多邊形的密鋪。

①正三角形、正方形能密鋪、正五邊形不能密鋪，正六邊形能密鋪，那正七邊形、正八邊形、正九邊形、正十邊形呢？更多邊的正多邊形呢？

生1：正多邊形的一個內角最大不能超過180°，要是平角就不能圍成正多邊形了，正六邊形往后的正多邊形的角都大于120°小于180°，不可能拼成360°周角，所以這些正多邊形都不能密鋪。

生2：正多邊形內角的度數隨著邊數的增多而增大，正六邊形一個內角是120°，正七邊形、正八邊形、正九邊形……甚至更多邊的正多邊形的一個內角都大于120°而小于180°，2個180°是360°，三個120°是360°，而正七邊形、正八邊形、正九邊形……甚至更多邊的正多邊形鋪在一起都不能鋪成360°周角，所以不能密鋪。

生3：我發現了正多邊形中只有正三角形、正方形可以密鋪，正六邊形是能密鋪的正多邊形中邊數最多的。

②揭示蜂房的奧秘。

（課件展示蜂巢的圖片）大自然的能工巧匠、聰明的小蜜蜂就是利用這一原理——用能密鋪的正多邊形中邊數最多的正六邊形來做蜂房，使儲物空間達到最大。

（2） 深入探究任意三角形和任意四邊形的密鋪。

①等邊三角形可以密鋪，那么任意的三角形是不是也可以密鋪呢？（學生出現不同的意見）

師：誰來說說自己的想法？為什么？生1：兩個完全一樣的任意三角形可以拼成平行四邊形，平行四邊形可以密鋪，所以任意三角形也可以密鋪。（學生用白板動態演示任意三角形密鋪的過程。）

生2：三角形的內角和是180°，三個三角形拼在一起形成180°角，再倒過來這三個三角形一樣形成180°角，合在一起，即圍繞公共頂點形成360°周角，任意三角形可以密鋪。

②正方形、長方形、平行四邊形、等腰梯形這些特殊的四邊形可以密鋪，那么任意四邊形呢？（課件出示一個任意四邊形。）

生：四邊形的內角和都是360°，圍繞其中一個角的頂點可以拼成360°周角（用白板演示任意四邊形密鋪的過程。）

（3）小結：研究到這里，大家發現圖形能否密鋪的秘密了嗎？

師：正如同學們所說的那樣：只要一種圖形鋪在平面上，圍繞公共頂點形成360度的周角，它就可以密鋪。

……

【教學反思】

本課借助圖形密鋪的素材，給學生提供了一個參與學習、親身體驗、獲取經驗和豐富感知的舞臺，引導學生通過觀察、實驗、猜測、推理、驗證等數學探索活動，尤為突出“做”、突出“過程”、注重培養學生應用意識和創新意識。具體表現在：

1.注重實踐，優選形式。在數學綜合實踐活動中，注重學生自主參與、全程參與，重視學生積極動腦、動手、動口。片斷中學生借助互動學習工具的克隆、拖動、旋轉、組合等功能在電腦上實踐操作，通過“鋪一鋪”驗證自己的猜想，發現：“有些圖形可以密鋪，有些圖形不能密鋪”，靈動的思維，深入的思考激起學生質疑：“圖形能否密鋪可能與什么有關呢？”兒童的思維特點是從形象思維逐步向抽象思維過度，在形象思維階段往往又要依靠事物或動作行為為思維的起點。片斷中學生利用等邊三角形等圖形借助交互式白板結合問題再次實踐驗證，促使學生獨立、自由地思考，把操作過程中獲得的直觀感知進行內化形成表象：等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形圍繞公共頂點可以鋪成360°周角，正五邊形不能圍繞公共頂點鋪成360°周角，由動作思維逐步過渡到具體思維。伴隨著操作、思考，學生用語言總結表達操作、思考的過程，強化操作引起的形象思維，從而擺脫對直觀思維的依賴，最終發現：“把平面圖形鋪在一個平面上圍繞在公共頂點可以鋪成360°的周角，這樣的圖形就可以密鋪。”學生動手、動腦、動口參與知識形成過程，調動全體學生的學習積極性，從每個學生的基礎水平和個性差異出發，讓不同層次的學生擁有同等參與學習活動的機會，實現有差異發展。

2.注重綜合，關注內容。在數學綜合實踐活動中，注重數學與生活實際、數學與其他學科、數學內部知識的聯系和綜合應用。片斷中學生在了解圖形密鋪的原由后，理論聯系實際，運用密鋪知識解決生活問題：為什么正方形、長方形及正六邊形地磚可以密鋪？學生感到在學有用的數學，激起學生熱愛數學的情感。一波未平一波又起，順應學生思維發展，從縱橫兩個方向質疑：第一，正三角形、正方形、正六邊形能密鋪，正五邊形不能密鋪，其他的正多邊形都能密鋪嗎？一石激起千層浪，學生們陷入深度思考，面對這一挑戰性的問題，學生不可能窮盡對所有正多邊形的驗證，而是綜合利用角和正多邊形的相關知識及求正多邊形內角和等知識從數學視角利用密鋪的本質進行推理探究，正七邊形、正八邊形……甚至更多邊的正多邊形都不能密鋪，正多邊形中只有正三角形、正方形、正六邊形可以密鋪，正六邊形是能密鋪的正多邊形中邊數最多的，進而揭示蜂房奧秘，有機滲透我們人類要與小蜜蜂和平共處的人文精神。第二，任意三角形、任意四邊形能密鋪嗎？困能激思，惑能啟智，創設有利于學生思考的時空，實踐探究，再次把學生的思維推向深處，在解決問題的過程中不斷地積累解決問題的經驗。形成“全面關注、平等對話、資源共享”的課堂教學文化。真正以學生發展為本，深入學生思維深處，將學生的思維從具象水平提升到抽象水平，更進一步逼近數學的本質。