小學數學教學中應彰顯模型思想的教學價值

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，在數學教學中應當引導學生感悟建模過程，發展“模型思想”。這既是對“四基”之一的“數學基本思想”作出的回應，同時也表明了小學數學教學中，建立模型是數學應用和解決問題的核心，如數與代數中的方程、幾何中的圖形、統計中的統計圖或表格、綜合實踐中表示問題的數量關系式等等，都可以結合具體實際問題從模型的角度進行滲透與闡釋。學生學習數學知識的過程就是建立數學模型的過程，只有深入到“模型”“建模”的層面，才可以稱得上是一種真正的學習。那么，如何從數學模型思想的層面，高屋建瓴地把握模型思想要義，指導小學數學教學實踐，彰顯其數學價值，讓學生在獲得對數學理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到盡可能多的進步和發展呢？筆者認為可以從下面三個方面入手。

一、 追本溯源，構建數學模型，直達概念內核

模型思想的建立離不開數學建模活動，數學建模是指用數學模型思想解決問題時所建立的適合解決問題的數學模型，比如自然數就是古人對獵物數量多少的一種數學建模。一旦正確建構出解決問題的數學模型，就意味著已經牢牢把握住了事物的本質特點、深層內核，可化繁為簡，化難為易，使人們更加容易認識原來的研究對象，從而幫助學生更好地理解數學，提高數學素養。

教學“認識負數”時，可以在引導學生結合溫度計找到正、負數分界點0的位置，正確標寫正負溫度，并交流得出“溫度計上越往上溫度越高，數越大，越往下溫度越低，數越小”的結論后，溝通數軸與溫度計的聯系，建立數軸模型，有效地引領學生拓展數的范圍，感知正負數的性質和特點。

1.有序分類，鞏固數的認識。

師：黑板上有這么多的數，誰愿意給它們分分類？

生1：我覺得可以分成兩類：一類是正數，一類是負數。

生2：不對，應該分成三類：正數、負數和0。

師：說說理由。

生2：因為0既不是正數，也不是負數，它是正數和負數的分界點。

生3：要找正數和負數，必須先找到0。如果沒有0，就無法找到正數和負數。

2.溝通聯系，建構數軸模型。

師：假如老師把溫度計橫著放，你覺得它看上去像什么？

生1：看上去像直尺，上面有一條橫著的線和很多刻度，而且可以從上面找到很多數。

生2：還可以找到0。

師：我們把橫著的溫度計移到黑板上來（教師在黑板上畫一條橫線，橫線上按溫度計所示畫上點，標上相應的數），再把黑板上的溫度計變一變（在橫線的最右邊畫上箭頭），就變成了一條有方向的直線，這樣的直線我們原來也接觸過，叫做數軸。

3.完善認知，拓展數的范圍。

師：請同學們回憶一下，以前我們對數的認識，也是以0為起點的，在數軸上認識的自然數有哪些？

生：1、2、3、4、5……，有無數個。越往右延伸，數越大。

師：在這個數軸上，除了自然數，我們還認識了哪些數？

生：還認識了小數和分數。

師：這些數都在0的哪一邊？仔細想想，其實都是些什么數呀？

生：這些數都在0的右邊，都是正數。

師：通過今天的學習，我們對數又有了更多的認識。你認為在數軸上除了0和正數外，還可以有哪些數？

生1：在0的左邊，我們還可以找到很多負數。

生2：我覺得和正數一樣，負數也有無數個，因為它和正數正好相反，而且越往左越小。

生3：我還發現，負數和正數是對應的，有+1就有-1，有+2就有-2……

生4：我認為跟正數相對應，負數也有負整數、負分數和負小數。

……

由上可知，建立數軸模型有利于將數軸上的點與數一一對應，直達數概念的核心，讓學生的觀察變得有序、準確。

二、 精心預設，豐潤建構過程，突出數學本質

數學建模落實到小學數學教學中，就是在教學中積極幫助學生將現實問題抽象成數學模型，并進行解釋和運用的過程，實際上就是讓學生經歷數學化和再創造的過程。只有經歷了這樣的探究過程，數學思想和方法才能沉淀、豐厚，才能使學生更深入地體驗、感悟到數學本真之所在。因此，教師是否能從數學建模的高度精心預設教學內容和過程，將直接關系到學生對于數學本真的認識與長遠的數學發展。下面是兩位教師利用同一素材教學“減法”的片段。

【片段一】

出示例題情境圖。

師：請同學們仔細觀察這兩幅圖。誰來說一說，你看到了什么？

生1：我看到了第一幅圖上有5個小朋友在澆花，后來走了3個，還剩下2個。

生2：原來有5個小朋友在澆花，走了3個小朋友，還剩下2個小朋友。

師：真棒！能根據這個過程列一個式子嗎？

生：5-3=2。

師板書：5-3=2。

……

【片段二】

出示例題情境圖。

師：請同學們仔細觀察第一幅圖。誰來說一說，你看到了什么？

生：我看到了有5個小朋友在澆花。

師：第二幅圖呢？

生：第二幅圖中，有3個小朋友去提水了，還剩下2個小朋友在澆花。

師：誰能把兩幅圖的意思連起來說說？

生：原來有5個小朋友在澆花，后來走了3個，還剩下2個。

師：觀察得真仔細。你們能根據這兩幅圖的意思，提出一個數學問題嗎？

生：有5個小朋友在澆花，走了3個，還剩幾個？

師：真棒！請大家拿出課前準備的小圓片，再用小圓片代替小朋友，把這個過程擺一擺。比一比，誰擺得又快又好。

教師巡視指點，指名將圓片擺在情境圖的下面。

師（結合圖和圓片）：5個小朋友在澆花，走了3個，還剩2個；從5個圓片中拿走3個，還剩2個。我們都可以用哪個算式來表示？

生： 5-3=2。

師在圓片下板書5-3=2，并齊讀。

師：誰知道，這里的5表示什么？3和2又分別表示什么呢？

（生答略）

師：說得真好！5-3=2除了可以表示小朋友的人數、圓片的個數外，還可以表示什么呢？同桌互相說一說。

生1：媽媽買了5個面包，吃了3個，還剩2個。

生2：星期天，爸爸幫我借了5本故事書，我已經看了3本，還剩2本。

……

顯然，兩位教師在預設時的著力點并不相同：第一位教師停留在淺表的知識傳授層面，滿足于式子“5-3=2”的獲得，至于要讓學生有怎樣深刻的學習體驗和收獲，卻并沒有真正關注；第二位教師在充分展開教學過程的基礎上，構建出數學模型，滲透了初步的數學建模思想，引導學生舉例說出模型的具體含義，將“5-3=2”這一減法模型和身邊具體事物的含義相鏈接，豐富了學生對減法這一數學模型的認識，在深入探究數學內隱本質的同時，培養了學生抽象、概括、舉一反三的學習能力。

三、 靈活應用，拓展模型思想，完善知識體系

學習數學的價值在于它能有效地解決現實生活中的實際問題，而用所建立的數學模型來解決實際問題，讓學生在實際應用中認識新問題、同化新知識、拓展新認知，并構建自己的知識體系，形成自覺的建模意識和思想，這既是學生真正掌握數學知識的具體體現，也是他們感悟數學模型價值的重要環節。

比如，方程是中小學數學課程的主要內容之一，它既是“一種思想”，也是一種“重要的數學模型”，能幫助我們很好地解決數學問題，然而，對于初次接觸方程的五年級學生而言，要真正實現由未知數向已知數的跨越，困難重重，為了能讓學生對方程模型和思想有深刻而完善的認知，我在學生感悟出“方程”的意義后，又設置了兩個層次的比較練習，幫助學生感悟方程模型思想的簡潔性與廣泛性。

1.一圖多式，在方程本質的深究中清晰模型思想。

出示線段圖：

師：你能根據線段圖列出方程嗎？比一比，看哪個小組思路最開闊，能根據不同的等量關系式列出不同的方程。

（學生組內討論。）

生1：我們小組找到了三個方程：280+x=800，x+280=800，800-280=x

生2：我們小組補充一個800-x=280

師：真厲害，一下子找到四個。會找方程不希奇，能說出這些方程是根據什么等量關系列出來的，才是真本事。

（生答略。）

師：老師考考大家，在四個方程中有一個通常不用的，猜一猜是哪個方程？

生1：第1個。

生2：第2個。

生3：第1個和第2個差不多，只是交換了兩個加數的位置。

師：用排除法，看來這兩個不是了。

生4：800-x=280

師：為什么是這個？

生5：第3個800-280=x最合適。

師：說說理由。

生5：我們通常不求未知數的，是求已知數的。

師：一個說是求已知數，一個說是求未知數的，這不是有矛盾了嗎？

生6：方程是未知數和已知數的等量關系，而第3個是已知數和已知數之間的等量關系，可以直接算出結果的。

師：好多同學覺得第3個算起來很簡單，其他三個不好算。正如那位同學說的，你們覺得好算的方程，是可以直接算出結果來的，而你們感覺不太好算的方程，恰恰是我們數學上的好方程，什么時候會求出這些方程中的未知數了，說明你們的本領又大了。當我們從計算領域進入到方程領域時，我們會遇到新的規則，許多新的思考方式會讓我們的數學眼界更加開闊。第3個方程不太好，我們先把它藏起來，同意嗎？

2.一式多表，在廣泛的生活應用中升華模型思想。

師：同一個問題，我們能列出不同的方程，那反過來思考，不同的問題有沒有可能列出相同的方程來呢？比一比，看誰先列出下面的方程。

師依次出示下面三題：

學生搶答，均列出方程3x=210。

師：明明三個問題各不相同，卻列出了相同的方程，這是為什么呢？

生：它們的數量關系相同。

師：真厲害，找到了核心問題。表面看起來是3道題，但骨子里都表示3個x合起來是210，也就是數量關系相同。既然這樣，我們能不能在生活中再找到一個問題，也能列出3x=210的方程呢？

生1：每天看x頁書，3天看了210頁。

生2：每套書x元，3套書一共210元。

生3：每次跳繩x個，3次共跳了210個。

……

師：這些問題各不相同，但卻有相同的數量關系，所以我們可以列出相同的方程。也就是說，無論問題怎樣變化，只要等量關系相同，都可以用同一個方程把它搞定，這就是方程最大的魅力所在。

第一個層次中，教師引導學生根據同一幅線段圖，找出不同的等量關系，并列出不同的方程，讓學生在比較中領悟到，當算術思維模式不再適用時，需要我們用全新的思維方式——方程思想主動做出調整，再通過對方程實際含義的交流，使學生清晰地建構起方程模型；第二個層次中，由3x=210引發出的討論，是對方程模型思想的一種具體化和拓展應用。不論是將幾個不同問題中非本質的情境、故事剝離，剩下相似結構所形成的方程模型，還是同樣的3x=210逆推出不同的問題情境，歸根結底，都統一在了方程的模型思想之中，無疑，這樣的處理，既激活了學生的數學活動經驗，又升華了對方程模型思想的認識，促使學生在更高層次上感悟到方程學習的價值與魅力，感受到模型思想與建模的魅力。

參考文獻

[1] 許衛兵，磨·模·魔——小學數學教學中滲透模型思想的思考，課程·教材·教法2012（1）.

[2] 黃偉星.小學數學教學中要重視培養模型思想，小學數學教師，2013（4）.