小學數(shù)學問題的表述中確定性也應(yīng)優(yōu)先于簡明性

數(shù)學問題的表述一般應(yīng)遵循三個原則，其中之一是確定性原則，即所要表述的內(nèi)容其含義必須是確定的，不能模棱兩可，既可以這樣解釋，又可以那樣理解。不然的話，將會使人無所適從，無助于數(shù)學問題的討論。另一個原則就是簡明性原則，即所要表述的內(nèi)容必須盡可能簡明扼要，而不能“舍簡就繁、長篇累牘”。否則，也會加大討論數(shù)學問題的難度，浪費人們寶貴的時間與精力。數(shù)學問題表述的符號化與數(shù)學問題表述的簡明性原則密不可分，而后來西方數(shù)學在世界數(shù)學中占據(jù)主導地位也與其數(shù)學問題表述的高度符號化有較高的關(guān)聯(lián)度。第三個原則就是當數(shù)學問題表述的“簡明性”與“確定性”發(fā)生沖突時，“確定性”應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”。小學數(shù)學問題的表述也不例外，也應(yīng)該遵循確定性優(yōu)先于簡明性的原則。雖然小學數(shù)學知識體系的呈現(xiàn)受到小學生接受能力的制約，不刻意追求理論體系的完整，適度淡化了數(shù)學概念，但小學數(shù)學問題的表述在含義上也必須是確定的，否則就會產(chǎn)生歧義進而引發(fā)爭議。小學數(shù)學教學中，為了培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，問題的條件可以具有發(fā)散性，解題方法可以具有發(fā)散性，問題的答案也可以具有發(fā)散性，但問題所表述的含義不能具有發(fā)散性。在小學數(shù)學問題的表述中，當“簡明性”與“確定性”發(fā)生沖突時，“確定性”也應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”。筆者在與小學數(shù)學教師以及小學數(shù)學教研員的交流過程中，收集到了幾個容易引發(fā)爭議的小學數(shù)學問題，在這里與大家分享，并進行進一步的辨析。

問題之一：“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”的含義是什么？

包頭市一所小學六年級數(shù)學綜合測試卷中有這樣一道選擇題：甲數(shù)比乙數(shù)多，則甲、乙兩數(shù)之比是（ ）。學生選擇了選項中的5：4，老師給判了“對”。在另一個學校的測試卷中也有類似的一道填空題：（ ）比32多？學生的答案有兩種，一種是32，另一種，老師給出的答案是32。很明顯，兩所學校的數(shù)學教師對于“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”的含義的理解是不一致的，同一所小學的學生對于“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”的含義的理解也不盡相同。這是為什么呢？對此我產(chǎn)生了濃厚的興趣，想探個究竟。于是就與前面那所小學的那位數(shù)學教師進行了交流，她給出的理由是：“‘今年的產(chǎn)量比去年的產(chǎn)量增加了1%’的含義是‘今年的產(chǎn)量比去年的產(chǎn)量增加了去年產(chǎn)量的1%’，‘1%’是一個比，‘甲數(shù)比乙數(shù)多’中的‘’也是個比，因此‘甲數(shù)比乙數(shù)多’的含義也應(yīng)該是‘甲數(shù)比乙數(shù)多乙數(shù)的’，所以那道試題中的選項5：4是正確的”。我就問她：“‘’一定是比嗎？比多多少？”她陷入了沉思。

辨析：“1個數(shù)比另1個數(shù)多百分之幾”或“1個數(shù)比另1個數(shù)少百分之幾”這樣的表述，是一種約定俗成的表述，因為“百分之幾”是一個特定的比，它不會被理解為一個數(shù)，所以“1個數(shù)比另1個數(shù)多百分之幾”或“1個數(shù)比另1個數(shù)少百分之幾”的含義是“1個數(shù)比另1個數(shù)多另1個數(shù)的百分之幾”或“1個數(shù)比另1個數(shù)少另1個數(shù)的百分之幾”，不會被理解為其他的含義，根據(jù)表述的簡明性原則，可以把“1個數(shù)比另1個數(shù)多另1個數(shù)的百分之幾”或“1個數(shù)比另1個數(shù)少另1個數(shù)的百分之幾”簡述為“1個數(shù)比另1個數(shù)多百分之幾”或“1個數(shù)比另1個數(shù)少百分之幾”。但是，在“甲數(shù)比乙數(shù)多”的表述中，既可以看作一個比，也可以理解為是一個數(shù)，這樣，一部分人把看作一個比，認為“甲數(shù)比乙數(shù)多”的含義就是“甲數(shù)比乙數(shù)多乙數(shù)的”，即“甲數(shù)減去乙數(shù)等于乙數(shù)的”。而另一部分人則認為這里的是普通的數(shù)，“甲數(shù)比乙數(shù)多”的含義就是“甲數(shù)減去乙數(shù)等于”。引發(fā)這一爭議的原因是對“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”的含義的理解不同。在應(yīng)用問題中，這樣的分數(shù)表示一個比還是一個數(shù)量是好區(qū)分的，帶單位的是數(shù)量，不帶單位的可以單純地理解為是比。只有在不帶單位的非應(yīng)用題中，才會產(chǎn)生歧義進而引發(fā)爭議。根據(jù)“確定性”應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”的原則，我們應(yīng)該在不易混淆或引發(fā)爭議的前提下追求表述形式的簡明。而現(xiàn)在的情況是“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”這樣的表述引發(fā)了爭議，再把“1個數(shù)比另1個數(shù)多另1個數(shù)的幾分之一”簡述為“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”就不太妥當了。

建議：在文字題這種特定情況下，將“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”中“幾分之一”看作普通的數(shù)，將它的含義規(guī)定為“兩個數(shù)的差等于幾分之一”。而要表述“1個數(shù)比另1個數(shù)多另1個數(shù)的幾分之一”這樣的意思時，就不能簡略地表述為“1個數(shù)比另1個數(shù)多幾分之一”，以示區(qū)別。1985年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市小學升初中招生數(shù)學試卷有一道選擇填空題：“比60的少的數(shù)是（ ），[15，29]。” 答案為29，可見出題者的本意與這一建議是一致的。也有出題者的本意與這一建議不相符的情況，比如有這樣一道小學六年級數(shù)學練習題：甲數(shù)比乙數(shù)大四分之一，那么乙數(shù)比甲數(shù)小多少？很明顯，出題者想要考察的是六年級學生對于分數(shù)相關(guān)知識的運用，不希望學生把“四分之一”看作1個數(shù)，想要的答案不是“四分之一”，而希望學生把其中的“四分之一”看作比，想要的答案是“五分之一”。但當有學生給出答案“四分之一”時，出題者又該如何應(yīng)對？

問題之二：半圓是扇形嗎？

這個問題的提出源于一道判斷題：半圓是扇形。一般人給出的答案是正確的，但也有人[1]認為應(yīng)該是錯誤的。爭論源于對于“半圓”含義的不同理解，肯定者認為這里的“半圓”指的是“半圓形”，否定者認為這里的“半圓”實質(zhì)上是一段弧。

辨析： “半圓”確實是一段弧，連接這段弧的兩個端點就形成了一個封閉的平面圖形——“半圓形”，在一定意義下，每一個“半圓”對應(yīng)唯一的一個“半圓形”，反過來，每一個“半圓形”對應(yīng)唯一的一個“半圓”，因此，在不易引起混淆的情況下，可以把二者等同起來看待，根據(jù)簡明性原則可以把“半圓形”簡稱為“半圓”，也可以用“半圓”來代替“半圓形”。例如，一般把“半圓形的面積”說成是“半圓的面積”，而人們對于“半圓的面積”這一表述的理解也絕不會是那段“弧”的面積，因為那樣的一段“弧”根本就不是一個封閉的平面圖形，因此也就沒有面積之說。同樣，在一般情況下，也可以把“半圓是扇形”這一表述的含義理解為“半圓形是扇形”。但在特定情況下，比如是一道判別正誤的判斷題時，“半圓是扇形”這一表述就存在一定的問題，不同的人會有不同的理解，進而引起爭論，一部分人會認為，既然可以把“半圓”理解為“半圓形”， “半圓是扇形”就是對的。而另一方面，也會有人會說，“半圓”是一段弧，一段“弧”怎么能夠成為扇形呢？因此“半圓是扇形”是錯的。于是，把“半圓是扇形”編成判斷題時，是易混淆的情況，這時 “簡明性”與“確定性”發(fā)生了沖突，根據(jù)“確定性”應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”的原則，就不能再把“半圓”與“半圓形”等同起來看待，“半圓形”也就不能簡稱為“半圓”。

建議：在判斷題中將“半圓是扇形”的表述改為“半圓形是扇形”。對于小學生來說，出題者的本意應(yīng)該是要考查半圓形是否是扇形，而不是一段“弧”是否是扇形。

問題之三：“a與b的倒數(shù)之和”的含義是什么？

問題源于一道小學數(shù)學習題：求2與10的倒數(shù)之和。

學生給出的答案有兩個，一個是

+=，

另一個是

2 += 2。

辨析：“與”可以用來表示并列關(guān)系，前者把“2”與“10”看作并列的對象，用來修飾“倒數(shù)”一詞，進而把“2與10的倒數(shù)之和”理解為“2的倒數(shù)與10的倒數(shù)之和”，即把“2的倒數(shù)與10的倒數(shù)之和”簡述為“2與10的倒數(shù)之和”，并表示為“+”；而后者把“2”與“10的倒數(shù)”看作并列的對象，用來修飾“和”這個詞，“2與10的倒數(shù)的和”也可以理解為是 “2 +”。從漢語的語義來講，這兩種理解都是可以的，但這卻有悖于小學數(shù)學表述的確定性，這是一類由于在表述中并列關(guān)系的不確定性而產(chǎn)生歧義。

建議：把“a與b的倒數(shù)之和”的含義規(guī)定為 a +，而要表述“+”時，基于數(shù)學問題表述的“簡明性”與“確定性”發(fā)生沖突時， “確定性”應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”的原則，不再簡述為“a與b的倒數(shù)之和”，而要表述為“a的倒數(shù)與b的倒數(shù)之和”或簡述為“a、b兩數(shù)的倒數(shù)和”。

在這里我們可以得到一點啟示，無論是在編制小學數(shù)學題目時，還是在小學數(shù)學課堂教學中，數(shù)學問題的表述都要反復進行推敲，要注意使問題的表述具有確定性。當“簡明性”與“確定性”發(fā)生沖突時，也就是在追求“簡明性”時如果破壞了“確定性”，就應(yīng)適當降低“簡明”的程度以確保 “確定性”，也就是“確定性”應(yīng)優(yōu)先于“簡明性”。

參考文獻

[1] 秦治國.一道判斷題引發(fā)的爭議.中小學數(shù)學（小學版），2008.（1～2）.