凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的生長性

以學(xué)生視角來看數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，應(yīng)該是一個知識生長和思維發(fā)展的過程。學(xué)生通過學(xué)習(xí)，“讓已經(jīng)存在于頭腦中的那些不那么正規(guī)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)體驗(yàn)上升發(fā)展為科學(xué)的結(jié)論”。而教師在教學(xué)中能否幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這樣一個“生長”的過程，是衡量一節(jié)課中教學(xué)活動是否有效的重要指標(biāo)之一。因此，教師在對某個知識內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備時(shí)，對學(xué)生學(xué)習(xí)這個知識內(nèi)容的準(zhǔn)備狀況需要有所了解，同時(shí)還得思考怎樣的目標(biāo)定位適合這個年齡階段的學(xué)生？怎樣的學(xué)習(xí)活動有利于學(xué)生完成知識的生長和思維的發(fā)展？下面即以筆者近期研究的“長方體的認(rèn)識”一課為例，來談?wù)勅绾握驹趯W(xué)生的角度上幫助其實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程的生長。

一、 解讀內(nèi)容，找準(zhǔn)學(xué)習(xí)落腳點(diǎn)

在設(shè)計(jì)一節(jié)課時(shí)，教師需要思考這樣一些問題：學(xué)生現(xiàn)在哪里？要把他們帶到哪里？怎樣把他們帶到那里？如何確信已經(jīng)把他們帶到了那里？而知道學(xué)生現(xiàn)在對某個知識內(nèi)容的了解狀況，是幫助學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更是如此。對于 “長方體的認(rèn)識”一課，從人教版教材內(nèi)容的編排來看，學(xué)生在一年級上冊已初步接觸過立體圖形，其中包括“長方體”。安排于五年級下冊的“長方體的認(rèn)識”是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)立體圖形的起始課，是從平面圖形到立體圖形學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容。對學(xué)生而言，其認(rèn)識長方體的特征有兩個重要基礎(chǔ)：一是平面圖形的認(rèn)識基礎(chǔ)，即知道認(rèn)識一種圖形的特征需要圍繞點(diǎn)、線、面來研究；二是生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在生活中接觸過許多長方體形狀的物品，有意無意間，對其特征有了相應(yīng)的認(rèn)識基礎(chǔ)。

再從本單元內(nèi)容來分析，“長方體和正方體”的學(xué)習(xí)包括特征、表面積、體積等相關(guān)知識，而這些內(nèi)容中又以“長方體”特征的理解和掌握為基礎(chǔ)。學(xué)生只有真正理解和掌握了長方體的基本特征之后，才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)表面積、體積等立體圖形的相關(guān)知識。因此，本節(jié)課的教學(xué)，除了對長方體基本特征的理解和掌握之外，最好還能夠讓學(xué)生對研究立體圖形的基本方法有所經(jīng)歷和體驗(yàn)。

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下：

（1）引導(dǎo)學(xué)生圍繞點(diǎn)、線、面進(jìn)行研究，認(rèn)識并掌握長方體的基本特征，進(jìn)一步體會研究圖形的一般方法。

（2）通過觀察、操作、想象等數(shù)學(xué)活動，建立長方體的空間表象，經(jīng)歷立體圖形學(xué)習(xí)的基本策略，提高空間想象能力。

二、 思辨流程，抓住學(xué)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)

對于一節(jié)40分鐘的課，教師一般可以從兩個角度進(jìn)行整體思辨：一是整節(jié)課學(xué)習(xí)的背景；二是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。“長方體的認(rèn)識”可以這樣來思辨。

視角1：長方體的認(rèn)識置于怎樣的背景下教學(xué)有利于學(xué)生建構(gòu)起系統(tǒng)的知識？

長方體形狀在生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，學(xué)生對其形狀特征已有豐富的感性認(rèn)識。因此，本節(jié)內(nèi)容是從生活實(shí)例入手，還是從數(shù)學(xué)層面入手展開教學(xué)，需要作出選擇。在以往的教學(xué)中，對長方體的教學(xué)更多停留于生活背景，以實(shí)物為學(xué)習(xí)材料研究長方體特征的教學(xué)設(shè)計(jì)較多。筆者在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，考慮了學(xué)生的生活背景層面，但更多還是注意了把長方體的認(rèn)識置于圖形認(rèn)識的背景下展開教學(xué)，以點(diǎn)、線、面這些圖形的基本元素為研究對象來研究長方體的特征，欲使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)圖形認(rèn)識的基本方法。

具體表現(xiàn)在以下幾個方面：

1.課堂導(dǎo)入。

觀察圖形，問：哪個圖形與眾不同？（最后一個）不同在哪里？（平面、立體）

師：這個圖形你們認(rèn)識嗎？（長方體）

揭示課題（板書）：長方體的認(rèn)識

讓學(xué)生從觀察入手，發(fā)現(xiàn)與眾不同的圖形，把長方體的認(rèn)識置于“圖形”這一背景下引出，擴(kuò)大了學(xué)生認(rèn)識立體圖形的認(rèn)知背景，為學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)知識埋下伏筆。

2.主體環(huán)節(jié)。

以點(diǎn)、線、面的觀察入手，研究長方體的基本特征，最后能夠形成對長方體的整體認(rèn)識。

點(diǎn)： 8個

棱： 12條 相對4條棱的長度相等

面： 6個 是長方形（可能有相對兩個面是正方形）

相對2個面的面積相等。

在學(xué)生對長方體的認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)中，直觀感知點(diǎn)、棱、面的數(shù)量及面的形狀是有著豐富經(jīng)驗(yàn)的。同時(shí)，也給學(xué)生以認(rèn)識方法上的引導(dǎo)，即研究立體圖形的特征，需要從點(diǎn)、線、面幾個要素來把握。

3.延伸拓展。

在幾何畫板上進(jìn)行動態(tài)演示，并作如下延伸：

師：如果寬變?yōu)?，會變成什么圖形呢？（長方形）學(xué)生答后演示。

師：如果高也變?yōu)?，會變成什么圖形呢？（線段）學(xué)生答后再演示。

師：如果長也變?yōu)?，又會變成什么圖形了呢？（點(diǎn)）演示。

回歸到點(diǎn)、線、面之間關(guān)系的感悟上來，目的在于讓學(xué)生感受立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，積累更為豐富的空間觀念。

視角2：以怎樣的認(rèn)識活動幫助學(xué)生認(rèn)識長方體的基本特征比較有效？

這是一個目標(biāo)的認(rèn)識問題，也是教師自我反思本課教學(xué)效果的基本問題。“長方體”的基本特征，應(yīng)該包括點(diǎn)、棱、面的數(shù)量及形狀、大小、長短等相關(guān)要素。從知識層面上看，學(xué)生知道“一個長方體應(yīng)該具有8個頂點(diǎn)、12條棱（每4條為一組，分3組，且相對的棱的長度相等）、6個面（每2個為一組，分3組，且相對的面的面積相等）”就可以了。但在本節(jié)課中，筆者認(rèn)為，學(xué)生認(rèn)識長方體的特征，從思維邏輯上還應(yīng)該有這樣的要求：長方體的12條棱中，還可以“有8條棱的長度相等或12條棱的長度都相等”兩種特殊情況；8條棱長度相等時(shí)，即為有相對兩個面為正方形的特殊長方體，12條棱長度相等時(shí)，即為正方體；面的大小與棱的長度之間存在直接的聯(lián)系，量出長、寬、高，就可以知道長方體所有面的大小等。筆者認(rèn)為，對于一個五年級學(xué)生來說，也只有達(dá)到這樣的認(rèn)識層次，才認(rèn)為是真正認(rèn)識了長方體的基本特征了。那么，這樣的目標(biāo)需要怎樣的學(xué)習(xí)活動來實(shí)現(xiàn)呢？教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了以下兩個活動：

1.搭長方體——探索“棱的特征”。

師：用小棒搭一個長方體，請你思考一下，要幾個接頭？幾根小棒？小棒的長度有什么要求？

學(xué)生思考后（不交流），請學(xué)生觀察提供的學(xué)具，繼續(xù)思考：提供的材料能否搭出長方體？（提供的材料中有缺接頭的，也有缺小棒的）

抓住搭不出的，說說問題在哪里？

情況一：不夠12根小棒的組。（邊不夠）

情況二：12根小棒不能分成三組。搭出來后有的“面”不是長方形。

交流分析后得出：搭一個長方體，需8個接頭（即八個頂點(diǎn)）；12根小棒（即12條棱），每4根1組，分3組。

師：剛才4根一組的小棒分別搭在哪里了？

研究每組4條棱的位置，得出相對4條棱的長度相等。

借助“操作”活動探究12條棱的特征，真正要實(shí)現(xiàn)的是學(xué)生思維的提升，是學(xué)生對“長方體”這一空間圖形表象的建立。從設(shè)計(jì)中可以看出，引導(dǎo)學(xué)生思考是這一環(huán)節(jié)的重要過程。搭之前的思考、觀察小棒過程中的思考、對為什么需要分成3組相等長度小棒的思考等等。這些問題的解決也正是學(xué)生對長方體棱的空間表象建立的重要過程。

2.糊面——研究“面的特征”。

師：要想在這個長方體上糊上面，想一想，要糊幾個面？（6個）要糊面，得知道這些面的大小，你怎么來確定這些面的大小呢？（量）

師：你準(zhǔn)備怎樣量？

學(xué)生思考交流后反饋：

（1）要量12條棱的長度。

（2）只需要量6條棱的長度。（問：為什么只需要量6條棱的長度就可以了？得出：相對面的面積相等。）

（3）只量三條棱的長度。（引導(dǎo)全體學(xué)生思考：為什么只量3條棱的長度，就可以知道所有面的大小了？）

討論：所量的三條棱應(yīng)該是交于一個頂點(diǎn)的三條棱。

說明：這樣的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、高。

糊面也是把研究面的特征置于一個具體的問題解決活動中。在操作方式上，引導(dǎo)學(xué)生“量”只是一個假定的操作活動，是一個數(shù)學(xué)思考的過程，其真正目的是理解“面”的特征。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用“量”的方式思考“面”的特征，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對長方體“棱”的特征的理解。這是一個滲透了長方體基本性質(zhì)理解的教學(xué)設(shè)計(jì)，即長、寬、高決定長方體的大小。應(yīng)該說，這樣設(shè)計(jì)一舉多得，有利于學(xué)生思維的發(fā)展。

三、 預(yù)設(shè)層次，明晰學(xué)習(xí)發(fā)展點(diǎn)

本節(jié)課教學(xué)，在關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的生長性方面，還反映在以下兩個層面：

1.從單個認(rèn)識到系統(tǒng)認(rèn)識的增強(qiáng)。

與傳統(tǒng)的教學(xué)相比，本節(jié)課的教學(xué)從平面圖形與立體圖形的直觀特征引入，拓寬了長方體的認(rèn)識背景，有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)，在本節(jié)課的主體探究活動中，改變了以往借助生活中長方體形狀物品的觀察來認(rèn)識長方體特征的教學(xué)方式，以搭長方體為學(xué)習(xí)活動，增加了實(shí)踐活動的數(shù)學(xué)性，擴(kuò)大了學(xué)生認(rèn)識的知識背景。另外，在本節(jié)課的最后，又回歸到點(diǎn)、線、面、體的觀察與體驗(yàn)上來，讓學(xué)生感受到圖形之間的聯(lián)系，為學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識長方體提供了直觀層面的支撐。

2.從直觀認(rèn)識到空間觀念的發(fā)展。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的生長性，不僅僅體現(xiàn)在知識的累加上，更為主要的還在于有利于學(xué)生思維能力發(fā)展、數(shù)學(xué)思考能力的提高。因此，本節(jié)課在數(shù)學(xué)活動的設(shè)計(jì)上，突出了學(xué)習(xí)過程的數(shù)學(xué)思考價(jià)值。

活動一：搭長方體。提出三個關(guān)鍵性問題：①需要幾個接頭、幾根小棒才能搭出長方體？②有12根怎樣的小棒才能搭出長方體？③這3組小棒，怎樣搭才能搭出來？三個問題有著較高的思維層面上的要求，且具有遞進(jìn)性。課堂上也正是以這樣的效果呈現(xiàn)出來的，先確認(rèn)需要12根，再討論這12根需要分成3組，又利用搭不成功的小組討論3組小棒該如何搭。三個問題解決的過程，正是學(xué)生對長方體“棱”的特征的準(zhǔn)確把握的過程。

活動二：給搭出的長方體糊上面。教學(xué)中設(shè)計(jì)了一個關(guān)鍵性問題：怎樣量？啟發(fā)學(xué)生思考。這個活動中不僅僅關(guān)注了長方體的“面”的特征的理解，還有利于引導(dǎo)學(xué)生思考長方體“棱”與“面”之間的關(guān)系，是一個真正把握長方體本質(zhì)特征的過程。活動中，通過“面”的特征的得出，體會面之間的相等關(guān)系，且知道長、寬、高的特征。這樣的設(shè)計(jì)意圖，在教學(xué)中得到了很好的體現(xiàn)。