數學小測驗：讓學習路徑更通暢

數學小測驗是用來檢測學生某一階段學習效果的常用方法。數學小測驗題量較少，學生能夠在較短的時間內完成，容易降低因相互抄襲、三心二意等不良學習習慣所帶來的負面影響，使我們獲得更為真實的學習信息，進而采取針對性的補救方式或教學方式，讓學生的學習路徑更通暢，從而使學習質量更有保障。那么，如何發揮數學小測驗的這一功能呢？我們要根據學習路徑靈活選取相應的測驗方式。筆者將常用的數學小測驗分為以下五類，其功能各有差異。

一、 矯正型小測驗——減少學習路徑中的障礙

矯正型小測驗是指以學生的普遍錯誤為素材，以糾正錯誤、強化方法、形成技巧為目的而設計的小測驗。矯正型小測驗可以通過題組比較等方式幫助學生分辨相似問題的異同，使他們真正理解這些易錯知識的本質，同時掌握與這些易錯知識相關的常見習題的解題方法，從而減少學習路徑中的障礙。

如配合人教版六年級數學下冊使用的作業本（浙江教育出版社出版）第12頁呈現了如下這道填空題：

一個圓柱與一個圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐的體積多48立方厘米，那么圓柱的體積是（ ），圓錐的體積是（ ）。

應該說此題是關于等底等高圓柱體積與圓錐體積關系的典型習題，主要檢查學生對這兩種立體圖形體積關系的理解程度。但實際的答題情況并不樂觀，全班有7人填了64立方厘米和16立方厘米，還有6人不知道該怎么填，再加上其他錯誤，此題的錯誤率超過了40%。經了解，出現64立方厘米和16立方厘米這兩個答案的同學都是把48× 的積作為圓錐體積，再把16+48的和作為圓柱體積。看來，學生出錯的主要原因還是沒有厘清等底等高圓柱體積與圓錐體積之間的關系。為此，筆者特意設計了以厘清圓柱體積與圓錐體積關系為主題的小測驗卷，內容如下：

1. 打牢基礎。

（1）計算下面各圖形的體積。

（2）觀察上面幾個圖形，說一說你的發現。

我發現 。

（3）填空。

①如果圓柱體積是1立方厘米，那么與它等底等高的圓錐體積是（ ），它們的體積差是（ ），它們的體積和是（ ）。

②如果圓錐體積是1立方厘米，那么與它等底等高的圓柱體積是（ ），它們的體積差是（ ），它們的體積和是（ ）。

③把圓錐體積看作1倍，那么等底等高圓柱體積就是（ ）倍，（ ）就是2倍，（ ）就是4倍。

2. 適度發揮。

（1）把一個底面積為12.56平方厘米，高為15厘米的圓錐形鐵塊鑄成一個與它等底的圓柱。這個圓柱的高是多少？

（2）把一個圓柱形木塊切削成一個最大的圓錐，削去部分質量是24千克。這個圓錐重多少千克？圓柱重多少千克？

（3）一個圓柱體積是一個圓錐體積的6倍，圓柱底面積是圓錐底面積的一半。已知圓柱的高是12cm，圓錐的高是多少厘米？

3. 充分拓展。

把一個長10cm，寬8cm，高6cm的長方體切削成一個最大的圓錐。這個圓錐的體積是多少？（提示：切削后的圓錐有幾種可能？底面直徑和高各是多少？）

上述小測驗分為三個層次，“打牢基礎”是求一組等底的圓柱和圓錐體積，學生通過計算、觀察、比較、歸納，很容易得出三者之間的體積關系，即底等底高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，等底等體積的圓錐高是圓柱高的3倍，使學生在頭腦中建立起比較清晰的圓柱與圓錐體積關系的立體模型。“適度發揮”是對基礎題的應用與深化，通過練習、延伸與拓展，拓寬到等底等體積甚至體積、底面積與高都是倍數關系的情況，這樣就開拓了學生的視野，鍛煉了學生的思維。“充分拓展”主要考查學生思考問題的完整性，同時也考查學生對數據的選擇能力。整張小測驗卷由淺入深，由易到難，測試后使學生對圓柱與圓錐之間的體積關系有了更深的認識，取得了預期的效果。

二、 鞏固型小測驗——消除學習路徑中的堵塞

鞏固型小測驗是指以數學概念的正確理解、數學方法的熟練運用、數學技巧的準確把握為目的而進行的小測驗。此類小測驗重點考查學生對基本概念、方法與技巧的掌握程度，因此選題時要突出階段教學的重點，淡化難點，力求使大部分同學都能完成。同時，必須對測試的準確度與速度有相應的要求，從而消除學習路徑中的堵塞。

例如，在教學人教版六年級“比例的意義和基本性質”后，為檢測學生對所學知識掌握的熟練程度，筆者設計了以比例的意義與解比例為主題的小測驗卷，內容如下：

1.基礎題。（18分為達標）

（1）求比值。（8分）

3∶5 9∶15 0.8∶0.5 12∶10

∶ 4∶ 0.75∶ ∶

（2）化成最簡單的整數比。（6分）

1.2∶0.3 10∶0.1 ∶

∶0.25 0.6∶0.4 ∶

（3）解比例。（6分）

0.8∶X=1∶500 = =X∶0.5

2.發展題。（7、8兩題每題2分，其余每題1分。7分為達標。）

（1）把16×18=32×9改寫成比例是（ ）。

（2）用12的因數組成一個比例式是（ ）。

（3）用9元錢可以買2kg雞蛋，總價與數量的比是（ ），比值是（ ）。

（4）走同一段路，甲用了20分鐘，乙用了30分鐘。甲乙的速度比是（ ）。

（5）甲數與乙數的比是5∶4，乙數比甲數少（ ）%。

（6）甲袋大米的和乙袋大米的一樣重，甲乙兩袋大米質量的最簡整數比是（ ）。

（7）國旗的長與寬的比是3∶2，我校旗桿上的國旗寬128cm，長應是多少厘米？

（8）圖上距離與實際距離的比是1∶2000，如果在這幅圖上量得甲乙兩地距離是8cm，那么兩地的實際距離是多少米？

經測試，基礎題達標率為91%，成績比較理想，其錯誤主要集中在最后一題。發展題達標率為83%，其錯誤主要集中在4、6、8三題。其中，第4題的答案大多是2∶3，可能是學生把速度比看成了時間比，也有可能是學生根本就不知道如何求速度比；第6題的答案大多是8∶9，可能是學生還沒有掌握比例法和假設法這兩種解題技巧；第8題的主要錯誤是沒有注意單位的轉化。經過梳理與分析，可以看出學生的基礎打得比較扎實，下階段可適當減少計算題，增加解決問題這類題型的數量。可見，鞏固型小測驗能夠鞏固學生的“雙基”，從而消除學習路徑堵塞。

三、 補充型小測驗——避免學習路徑中的斷層

每冊數學教材都存在大單元與小單元的情況，大單元內容多，時間跨度大，并且都是本冊教材的重點所在，學生在學習過程中容易出現知識疲勞，影響學習效果，甚至還會形成知識斷層，導致數學學困生的增加。針對這些大單元，我們有必要補充小測驗的次數，變大單元為小單元，及時監控學生的學習，調控自己的課堂教學進度，讓學生的學習更加有層次感，從而避免學習路徑中的斷層。

例如，人教版六年級數學上冊的“百分數”單元一共安排了15課時，至少需要3周時間才能學完。為了及時了解學生的學習情況，筆者根據教學進度與教學內容設計了三張小測驗卷進行考查，具體為：

結果表明：及時補充小測驗的次數可以提高學習效率。可見，在影響學習效果的諸多因素中，及時的檢測與評價是非常重要的，它可以提升學生數學學習的層次感，從而更加深刻地掌握大單元知識，達到切實消除知識斷層的目的。

四、 整理型小測驗——防止學習路徑中的擁擠

整理型小測驗就是在單元復習階段，以知識整理為目的，以羅列、列舉、畫圖、框架、舉例等方式為手段，以厘清知識之間的關系為目的，以培養學生自主學習能力為目標而進行的小測驗。這種形式的小測驗難度較大，很多學生難以獨立完成，需要教師提供一定的幫助，同時，允許他們適當參考其他同學的成果。

例如，人教版五年級數學下冊“因數與倍數”單元的相關概念非常多，學生在學習過程中經常會把有些概念的意義搞混淆。單元內容教完后，筆者要求學生對本單元的學習成果進行整理，整理內容如下：

1.單元知識整理。

本單元一共有幾個部fb4eb87d9475445099e81b74644b94360d659b6a3da56eb0f086e926c8abfce5分，記下來；仔細看書，找出每個部分有幾個知識點，記在相應的方格內；把相反意義的概念放在一起。

2.寫出三組意義相反的數的涵義。

（1）（ ）數：

（ ）數：

（2）（ ）數：

（ ）數：

（3）（ ）數：

（ ）數：

3.你認為其他重要的知識還有哪些？

學生整理的過程，也就是對所學數學知識進行全面梳理的過程。通過整理，既可以厘清知識之間的前后聯系，又可以明晰單元學習的重點與難點，從而有效防止學習路徑中的擁擠。在此基礎上，再讓學生經歷一定量的對比與強化練習，使學生運用知識的能力明顯增強。

五、適應型小測驗——填補學路中的坑洼

單元檢測考查的內容與學生平時訓練的內容可能會有一定的差別，如現行人教版數學教材中的填空題、選擇題等題型非常少，甚至沒有，導致部分學生做題不規范或丟三落四。針對這種情況，在單元檢測前有必要對他們進行一定量的適應性訓練，將單元檢測卷中平時少見或沒見過的或對書寫格式有要求的題型進行適當改編并讓學生先練習，讓他們體驗新題型及解決方法，從而提高他們學習數學的信心與興趣，真正享受到數學學習的樂趣。

例如，人教版六年級數學上冊第三單元“分數除法”的測試卷中，有幾道試題是教材中從未出現過的，筆者為此專門設計了一張適應型小測驗卷，內容對比如下：

單元測試不是為了為難學生，我們不能期望自己的學生都能做到舉一反三、觸類旁通。看到學生在考試時一籌莫展，還不如事先“漏”點“風”給他們，使他們有一定的知識與思想準備，這樣既能保護學生的學習積極性，又能加深他們對知識的記憶與理解，何樂而不為呢！