重視數(shù)據(jù)分析 培養(yǎng)隨機(jī)觀念

在小學(xué)進(jìn)行“可能性”教學(xué)，可以幫助學(xué)生積累隨機(jī)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)隨機(jī)活動(dòng)體驗(yàn)，初步建立隨機(jī)觀念，改善思維方式。在聽課過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：教師比較重視實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，組織學(xué)生通過多次實(shí)驗(yàn)（如摸球等）體會隨機(jī)性，但對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)缺少必要的分析，未能借助及時(shí)的數(shù)據(jù)分析，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解“可能性”的深刻內(nèi)涵。有的教師缺乏本體知識，或不敢分析，或不會分析，或胡亂分析；有的教師只作簡單、籠統(tǒng)、膚淺的分析……致使學(xué)生的認(rèn)識停留在表層，未觸及本質(zhì)，“可能性”的教育意義被大打折扣。為此，筆者建議：重視數(shù)據(jù)分析，培養(yǎng)隨機(jī)觀念。

一、 通過數(shù)據(jù)分析，不斷體會隨機(jī)性

隨機(jī)性是一個(gè)非常重要的概念，理解它的豐富內(nèi)涵不但要多做實(shí)驗(yàn)，而且要多收集和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生深刻體會“可能性”的含義，增強(qiáng)感性認(rèn)識。如蘇教版教材在剛教學(xué)“可能性”時(shí)，設(shè)計(jì)了這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)口袋里有3個(gè)黃球和3個(gè)紅球，從中任意摸一個(gè)，會摸到什么球？學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)和直覺會猜到：可能會摸到黃球，也可能會摸到紅球。真的會是這樣嗎？于是，教師引導(dǎo)學(xué)生通過分組實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證，每人摸10次。學(xué)生實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)：兩種球都可能摸到，每次摸到的結(jié)果是不確定的。筆者認(rèn)為，在實(shí)驗(yàn)前，教師還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生各自猜測：如果每人摸10次，你能確定第幾次摸到黃球嗎？你能確定共有幾次摸到黃球嗎？學(xué)生帶著猜想進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，會更有思考和興致。實(shí)驗(yàn)時(shí)要求學(xué)生把摸到的結(jié)果一一記錄下來，實(shí)驗(yàn)后學(xué)生先把結(jié)果與猜想進(jìn)行對照，再在組內(nèi)匯總，繼續(xù)進(jìn)行觀察、比較和體會，最后全班匯總，對總結(jié)果再進(jìn)行觀察、分析和體驗(yàn)。這樣，學(xué)生會對隨機(jī)性的一大特點(diǎn)——“必然中的偶然”有更全面和更深刻的認(rèn)識。筆者把其中一組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果收集、展示如表1。

學(xué)生通過觀察、比較和分析上述結(jié)果，感悟到：從每名學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，盡管都摸到了黃球，但不能確定其在第幾次摸到黃球，也不能確定其共有多少次摸到黃球，而且每名學(xué)生的摸球結(jié)果幾乎都不一樣；從全組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，每次都有學(xué)生摸到黃球，每次摸到黃球的人數(shù)也不盡相同，而且每次摸到的情況也不一樣……從中具體體會“可能性”的深刻含義，體會隨機(jī)性。

為了強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識，筆者還把全班的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總成如表2：

表2 第幾次摸到黃球的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

學(xué)生通過觀察、分析和比較表中數(shù)據(jù)得知：盡管對每名學(xué)生來說，在實(shí)驗(yàn)前不能確定第幾次摸到黃球，但對全班來說，每次都有學(xué)生摸到黃球，而且每次摸到黃球的人數(shù)也不盡相同，多在全班人數(shù)的一半附近。

表3 一共摸到黃球次數(shù)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

學(xué)生通過觀察、分析和比較表3中數(shù)據(jù)得知：盡管每個(gè)學(xué)生都摸10次，但在實(shí)驗(yàn)前不能確定其共有多少次摸到黃球。

這樣，學(xué)生對隨機(jī)性的一大特點(diǎn)——“必然中的偶然”就會有更全面、更豐富和更深刻的認(rèn)識，從而為初步建立隨機(jī)觀念打下較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、 通過數(shù)據(jù)分析，不斷體會等可能性

可能性相等，游戲才公平。等可能性是指機(jī)會的相對平等。正因?yàn)橛小暗瓤赡苄浴?，可能性才可以用分?jǐn)?shù)表示，從而實(shí)現(xiàn)可能性由定性描述向定量刻畫的過渡。但對小學(xué)生來說，從過去結(jié)果相等的絕對公平到現(xiàn)在機(jī)會相等的相對公平，理解起來何等艱難！為此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，不但要多做實(shí)驗(yàn)，而且要多分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，多借助圖形表示數(shù)據(jù)，使學(xué)生形象地理解相對量相等的內(nèi)涵。

如蘇教版教材在教學(xué)“游戲的公平”時(shí)，也安排了上述摸球?qū)嶒?yàn)。在《教師用書》上對這部分內(nèi)容給出的教學(xué)建議是：在經(jīng)歷不公平的游戲之后， “讓學(xué)生根據(jù)例題要求設(shè)計(jì)公平的游戲，使口袋里的紅球與黃球個(gè)數(shù)同樣多，再摸球并作記錄，看看每種球摸到的次數(shù)是不是差不多，是誰贏了。接著反復(fù)做幾次游戲，使學(xué)生看到雙方都有贏的機(jī)會，贏的次數(shù)也比較接近，確信這樣的游戲規(guī)則是公平的”。筆者認(rèn)為，在此基礎(chǔ)上，還要收集和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)制成圖形，從而幫助學(xué)生深刻體會“等可能性”的含義。實(shí)驗(yàn)后，筆者有意識、有次序地請學(xué)生分別收集、匯總每人摸10、40、120、240次時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（可以把多人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的和作為1人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)），并用圖1表示出來：

引導(dǎo)學(xué)生分別把各個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與圖中的半數(shù)進(jìn)行比較，通過不斷分析、比較和推理，逐步發(fā)現(xiàn)：在同一條件下，獨(dú)立地、重復(fù)地做同樣的實(shí)驗(yàn)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，摸到紅球和黃球的機(jī)會波動(dòng)性比較大；當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越來越多時(shí)，波動(dòng)性越來越小，越來越接近于實(shí)驗(yàn)次數(shù)的一半。為了進(jìn)一步形象地說明“等可能性”的含義，筆者又出示幾位著名學(xué)者拋硬幣所得到的數(shù)據(jù)，并用圖2表示出來：

引導(dǎo)學(xué)生通過不斷觀察、比較和分析圖中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，逐步發(fā)現(xiàn)：隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，正面和反面朝上的可能性會逐漸穩(wěn)定在實(shí)驗(yàn)次數(shù)的一半的附近。這里的相等，原來就是指機(jī)會不斷逼近實(shí)驗(yàn)次數(shù)的一半的過程。

把數(shù)據(jù)制成圖形，便于學(xué)生形象地理解“等可能性”的深刻內(nèi)涵，準(zhǔn)確地把握隨機(jī)事件的另一特點(diǎn)——“偶然中的必然”，順利地實(shí)現(xiàn)從過去結(jié)果相等的絕對公平到現(xiàn)在機(jī)會相等的相對公平。學(xué)生從中能更真切地體會到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)雖有隨機(jī)性，但也有必然性，而且從總體上看，試驗(yàn)的次數(shù)越多，必然性越明顯。

三、 通過數(shù)據(jù)分析，不斷體會規(guī)律性

蘇教版教材把“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”安排在六年級。教材中有這樣一題：在一個(gè)袋中，有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中任意摸一個(gè)球，摸到紅球的可能性有多大？學(xué)生通過計(jì)算認(rèn)為摸到紅球的可能性是■，即概率是■。許多教師認(rèn)為學(xué)生已學(xué)會量化表示，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)便告結(jié)束。筆者認(rèn)為，教師不應(yīng)只讓學(xué)生“一算了之”，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和規(guī)律性，幫其準(zhǔn)確理解“■”的深刻內(nèi)涵。在學(xué)生計(jì)算之后，筆者是這樣處理的：先要求每人做10次試驗(yàn)，算出每人摸到紅球的次數(shù)占總次數(shù)的比，并與摸到紅球的概率比較，再在組內(nèi)和全班交流，仍與摸到紅球的概率進(jìn)行比較。全班交流時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸到紅球的次數(shù)從十分之一到十分之九都有，而且每名學(xué)生摸到紅球的次數(shù)也不盡相同，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：在試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，摸到紅球的次數(shù)占摸球的總次數(shù)的比與概率有較大的差距，而且波動(dòng)性大。

接著，筆者啟發(fā)學(xué)生深思：假如每人實(shí)驗(yàn)的次數(shù)逐步增加，結(jié)果會怎樣呢？引導(dǎo)學(xué)生把同組6人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行合計(jì)，算出本組摸到紅球的次數(shù)占摸球總次數(shù)的比，并與摸到紅球的概率進(jìn)行比較，看看有什么發(fā)現(xiàn)，從中體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和規(guī)律性。待各組一一匯報(bào)并與概率分別比較后，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生把各組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)逐步累計(jì)，直到算出全班摸到紅球的次數(shù)占摸球的總次數(shù)的比，并與摸到紅球的概率依次進(jìn)行比較，從中進(jìn)一步體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和規(guī)律性。筆者現(xiàn)把兩次統(tǒng)計(jì)結(jié)果匯總成表4（全班48人，平均分成8組）：

學(xué)生通過觀察、比較和分析表中數(shù)據(jù)，逐步發(fā)現(xiàn)：摸到紅球次數(shù)占摸球的總次數(shù)的比隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的相同或不同而變化，是不確定的，有較大的隨機(jī)性：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，摸到紅球次數(shù)占摸球的總次數(shù)的比的波動(dòng)性比較大，但從總體上看，隨著摸球的次數(shù)的不斷增加，摸到紅球的次數(shù)占摸球的總次數(shù)的比逐步趨向穩(wěn)定值，越來越接近，呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，但不排除特例。筆者還引導(dǎo)學(xué)生合情推理：假如試驗(yàn)的次數(shù)無限增大時(shí)，從總體上看，摸到紅球次數(shù)占總次數(shù)的比會怎樣？學(xué)生很自然地推想到：會越來越逼近摸到紅球的概率，但也不排除特例。

筆者認(rèn)為，在“可能性”的教學(xué)中要多進(jìn)行類似的實(shí)驗(yàn)和分析，要使學(xué)生的認(rèn)識逐步從表面走向內(nèi)在，從膚淺走向深刻，從感性走向理性。學(xué)生從中能初步學(xué)會數(shù)據(jù)分析的方法，切實(shí)感悟到數(shù)據(jù)中既有隨機(jī)性，又有規(guī)律性，數(shù)據(jù)是有力量的，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析是有價(jià)值的，從而喜愛收集數(shù)據(jù)，樂于分析數(shù)據(jù)，并善于運(yùn)用數(shù)據(jù)推測，逐步培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念和隨機(jī)觀念，學(xué)會用概率的眼光看世界。