超級畫板作正三角形的若干方法

現在中小學教師的工作負擔普遍較重，要求老師經常使用信息技術制作課件進行授課似乎有些強人所難，所以許多人提倡教師可以充分利用別人已經做出的課件，對其進行加工改造，使之滿足自己的課堂教學需要。只要能提高數學課堂教學的效率和質量，在充分尊重別人知識產權和勞動成果的基礎上進行借鑒吸收，甚至實行拿來主義，未嘗不是一種辦法。但是我們認為，中學數學教師還是應該掌握一些必備的信息技術，尤其是一些為數學教學量身定制的數學教育信息技術，例如一些動態幾何軟件。學習掌握了這些軟件一方面可以方便教師的日常教學，一些簡單的圖形繪制或可現場制作、并不需要多少時間精力的簡單課件，教師自己完全可以動手做出來以免除上網查閱下載再修改之辛苦。另一方面，我們認為教師學習掌握一門數學教育軟件的過程也是教師自身素質能力提高的過程。選擇一個恰當的數學教育軟件進行學習，教師既可學到有用的技能，又可以在學習過程中提高對數學的認識和理解，從而有效提高自身的數學素養。

超級畫板是張景中院士主持開發的、我國具有完全自主知識產權的優秀動態幾何軟件，它以服務我國基礎教育（尤其是數學、物理等理科）改革為宗旨，具有動態測量、符號運算、編程、自動推理等多項功能。超級畫板現有注冊版和免費版兩種版本。即使教師使用免費版也可以基本滿足中學數學教師日常教學工作的需要。而且該軟件許多命令實現方式多樣化，可供教師根據實際情況選擇使用。正三角形是數學中最簡單的正多邊形，在數學教學中會經常遇到。要使用信息技術作一正三角形也是非常簡單的事情，但是簡單的事情細細探究也可以變得復雜有趣起來。使用超級畫板作正三角形有如下實現途徑。

1.智能畫筆作圖

超級畫板的智能畫筆功能可以作包括自由點和網格點、直線、線段、射線、等長線段、垂直相等、圓、線段中點、圓周上或線段上的點、平行四邊形等二十種基本幾何圖形，能夠用尺規作圖完成的圖形，使用智能畫筆均可以輕松作出。

選擇了智能畫筆后，先畫出線段AB，然后由點B繼續畫線段，當出現“等邊”提示并且線段AB變色，松開鼠標左鍵即可得到一個以AB為邊的等邊三角形。該種操作方法能夠保證作出正三角形，但是由于滿足以AB為邊的正三角形第三個頂點只有兩個，尋找起來會比較難，需要反復嘗試移動鼠標。但是掌握了智能畫筆后作其他的各種幾何圖形都非常方便。

2.菜單命令作圖

對于注冊版本，在作出了線段AB并選擇端點A、B后，可以通過菜單命令“作圖—多邊形—等邊三角形”直接作出滿足條件的正三角形ABC。也可分別選擇點B、A，執行菜單命令“作圖—點—點繞點的放縮旋轉點”，在彈出的用戶輸入命令對話框中分別輸入“縮放比例：1；旋轉角：60”（如圖1所示），點擊確定后即可作出正三角形第三個頂點C和線段AC。

圖1

對于免費版本的超級畫板，菜單命令“作圖—多邊形—等邊三角形”仍可直接執行，但是“作圖—點—點繞點的放縮旋轉點”卻是灰色不可用的。而這個命令又非常重要，例如教師要作一個其中一個內角是50度的三角形就需要通過設置旋轉角度來作出滿足條件的點。其實，免費版的超級畫板除了自動推理等少數功能外，其他的注冊版的功能幾乎都是具備的，只是在功能的實現途徑上不同。

在作出了線段AB后，可以執行菜單命令：“作圖—文本作圖”，在彈出的“文本命令作圖對話框”中既可以找到“EqTriangle（A，B[，Text]）；//ABC是等邊三角形”的命令（如圖2所示），也可找到“PointFlexRotate（P，A，nTime，nAngle[，Text]）；//P繞A放縮旋轉”的命令。雙擊該命令到上方的空白區后從第一個逗號前開始依次輸入點B的編碼“6”、點A的編碼“5”、放縮倍數“1”、旋轉角度“60”（如圖3所示），然后點擊“運行命令”則可作出正三角形第三個頂點C。

圖2 圖3

類似的，注冊版的菜單命令，通過“文本作圖”命令幾乎全部可以實現。

3.數學方法作圖

美國幾何學家佩多教授曾經提出生銹的圓規作圖問題[1]，其中之一是已知兩頂點A、B能否使用固定半徑r的圓規作正三角形。當已知兩定點距離小于2r時，則可以通過反復作半徑為r的圓的方法找到正三角形第三個頂點F（如圖4所示）。容易證明，用該作圖方法作出的頂點C是滿足條件的。

圖4 圖5

通過軟件的功能菜單可以輕松實現一些操作，如果教師能夠通過思考、數學地尋找到問題的解答，則既可以讓教師體會到思考發現之樂趣，又可以不斷提高數學教師的數學理論修養。類似的訓練例子還包括過圓外一點作圓的切線、作兩圓的公切線、單尺等分線段等。[2]

4.方便面作圖

超級畫板為了方便降低操作難度，使之更加適合初學者使用，特別配備了一個可以免費下載的“方便空白頁面”（簡稱為“方便面.zjz”）。“方便面”的程序區支持一百多個簡單而容易記憶的命令。要使用它作正三角形，可以在程序區直接輸入“z3x（）：”，然后通過同時單擊“ctrl+enter”鍵執行命令，則在作圖區會作出一任意的正三角形；若要作以已知點A為其中一個頂點的正三角形，則可以在程序區輸入”z3x1（6）；”然后通過同時單擊“ctrl+enter”鍵執行命令，作出以點A（編號為6）的正三角形。同理，如果已知兩個頂點A（編號為6）、B（編號為7），要正三角形ABC，則可以在程序區輸入“z3x2（5，6）；”的命令作出圖形（如圖5所示）。

通過使用方便面已經能夠做好的這些命令，常常是幾個命令就可以完成一個教學用課件。不僅輸入步驟簡略，而且執行方便快捷，省時省力。如果記不下那么多命令，那么看一下“方便面關鍵詞”就可以查找到所需命令。教師也可以根據自己的需要自己編寫一些命令保存起來以備使用。

同一件事情，實現起來的方法多一些，固然可能會帶給人們選擇的苦惱。但是如果目標明確，實現方法多可以讓我們在選擇中找到最優路徑。使用超級畫板作圖，既可以通過智能畫筆、菜單命令（文本作圖）、方便面等輕松簡單地直接實現，又可以通過數學思考和使用數學知識來實現。這并不同于“茴字有四種寫法”，而是如同數學問題一題多解可以鍛煉人的思維一樣可促進教師的成長和發展。

參考文獻：

[1]張景中.數學家的眼光[M].北京：中國少年兒童出版社，2007.

[2]張景中，彭翕成.動態幾何教程[M].北京：科學出版社，2007.