高中數(shù)學(xué)新舊教材中余弦定理的對(duì)比分析與教學(xué)建議

摘 要： 余弦定理是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生公理化思想，歸納，從特殊到一般的思想方法發(fā)揮著獨(dú)特的功能。因此，余弦定理教材的編寫(xiě)應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。本文通過(guò)對(duì)新舊教材的編排比較和研究，發(fā)現(xiàn)不足，幫助教師形成合理的教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 新舊教材 余弦定理

在課堂教學(xué)中，教材是重要的課程資源之一，是體現(xiàn)課程理念的重要媒介。不同的教材體現(xiàn)了不同的知識(shí)傳授理念，也體現(xiàn)了不同的教學(xué)成效。新舊教材之間存在著些許差異，為了能夠更好地實(shí)施課堂教學(xué)，全面細(xì)致地比較和研究新舊教材的差異對(duì)實(shí)際教學(xué)工作是有必要的。

本文通過(guò)以余弦定理為例，對(duì)新教材與舊教材關(guān)于余弦定理章節(jié)的內(nèi)容編排特色做了一個(gè)比較，主要對(duì)余弦定理的提出、余弦定理發(fā)現(xiàn)的證明過(guò)程等環(huán)節(jié)做了細(xì)致的比較，并在此基礎(chǔ)上，提出合理科學(xué)的教學(xué)建議，幫助教師形成合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，提高課堂教學(xué)效率。

一、新舊教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)比較

在人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下）中，余弦定理被設(shè)計(jì)在第五章——平面向量的第二節(jié)解斜三角形中。新教材人教版數(shù)學(xué)必修5，余弦定理被設(shè)計(jì)在單獨(dú)章節(jié)解直角三角形中。

1.關(guān)于余弦定理的提出

舊教材直接提出問(wèn)題，基于特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從解直角三角形入手，切入余弦定理：新教材給出探究，而新教材結(jié)合初中全等三角形的知識(shí)，從量化的角度提出問(wèn)題，體現(xiàn)初中和高中的知識(shí)銜接，也為余弦定理解三角形的類型做了鋪墊。全等三角形的判定學(xué)生在初中時(shí)就已學(xué)過(guò)，這樣便于學(xué)生建構(gòu)和聯(lián)系余弦定理，即三角形的邊角關(guān)系。

2.余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程

舊教材因?yàn)橛嘞叶ɡ砭幣旁谄矫嫦蛄康恼鹿?jié)中，所以，余弦定理的引入也毫無(wú)疑問(wèn)地運(yùn)用了向量的方法推導(dǎo)出。提出問(wèn)題后，直接用向量的方法研究問(wèn)題。

例如，在△ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b。

由此推出余弦定理。

新教材在推導(dǎo)余弦定理的設(shè)計(jì)上同樣也用了向量數(shù)量積的方法進(jìn)行證明，但是提出了思考。引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

由于涉及了邊長(zhǎng)問(wèn)題，我們可以考慮用向量的數(shù)量積，或者用解析幾何中的兩點(diǎn)間距離公式來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

新舊教材都用了向量數(shù)量積的途徑來(lái)展現(xiàn)余弦定理的證明這一問(wèn)題。這樣的設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷，但是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的證明方法來(lái)得突然、不自然，不利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，無(wú)法讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造過(guò)程，缺少新舊知識(shí)的搭建和連接。

3.余弦定理在三角形形狀判斷的應(yīng)用

舊教材并未涉及此內(nèi)容。

新教材從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)兩方面相結(jié)合，分別對(duì)三種形狀的三角形進(jìn)行了量化講解。

二、基于教材編寫(xiě)對(duì)比分析的教學(xué)建議

1.對(duì)余弦定理提出的教學(xué)建議

在教學(xué)中，提出問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情境這一環(huán)節(jié)可直接用新教材的探究，不僅體現(xiàn)了初中高中知識(shí)的銜接，還為之后要說(shuō)明滿足已知邊角邊的三角形的解是唯一的，不會(huì)出現(xiàn)正弦定理兩解的情況留下了懸念。

2.對(duì)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程的教學(xué)建議

余弦定理的引入及其證明過(guò)程，新舊教材中的向量方法雖然簡(jiǎn)捷，但是這樣的證明過(guò)程來(lái)得太突然，我們可以設(shè)計(jì)得更自然一些，既讓學(xué)生聯(lián)系已學(xué)過(guò)的知識(shí)，又讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的探究方法。可作如下設(shè)計(jì)：

已知直角△ABC，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b，問(wèn)如何去求出直角所對(duì)的邊c邊？

同學(xué)們很自然地會(huì)利用勾股定理解出c邊。

其次，若我們將點(diǎn)C沿邊BC向左移動(dòng)，這時(shí)原來(lái)的直角△ABC變成了銳角△ABC，這時(shí)如何去求c邊？

若我們將點(diǎn)C沿邊BC向右移動(dòng)呢？這時(shí)又會(huì)形成鈍角△ABC，如何去求c邊？

這就將特殊的問(wèn)題延伸到了一般的問(wèn)題，形成對(duì)任意的三角形如何去求第三邊的問(wèn)題。這樣既結(jié)合了舊教材的提出問(wèn)題部分，又是一種學(xué)生易接受的探究方法。

參考文獻(xiàn)：

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