最重要的數(shù)學(xué)問題

　　摘要： 數(shù)學(xué)問題是驅(qū)動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原動力。本文簡要介紹了黎曼猜想的發(fā)展歷史，旨在說明黎曼猜想對整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性，激發(fā)數(shù)學(xué)初入門者探索數(shù)學(xué)問題的興趣。
　　關(guān)鍵詞： 最重要的數(shù)學(xué)問題黎曼猜想克雷數(shù)學(xué)問題
　　
　　有沒有最重要的數(shù)學(xué)問題呢？當(dāng)然，已經(jīng)解決了的問題就不是問題了。所以問題應(yīng)該是：在沒有解決的數(shù)學(xué)難題中，有沒有一個(gè)是最重要的問題？雖然數(shù)學(xué)家們的答案不完全一致，但當(dāng)今的絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為：最重要的數(shù)學(xué)難題就是著名的黎曼猜想。
　　黎曼是德國的數(shù)學(xué)家，于1826年出生于漢諾威一個(gè)牧師家庭，雖然他在中學(xué)時(shí)代就對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣和出眾的才能，但他父親希望他也成為一名牧師，黎曼終于還是按照父親的意愿，在中學(xué)畢業(yè)后進(jìn)入著名的哥廷根大學(xué)攻讀神學(xué)。在第一學(xué)年，哥廷根的科學(xué)傳統(tǒng)和偉大的高斯就深深地影響了黎曼，他給父親寫了一封信，提出了想從神學(xué)專業(yè)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)專業(yè)的想法。不久他收到父親的祝福，于是立即投入到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，從此走上職業(yè)數(shù)學(xué)家的道路。
　　在1859年11月，黎曼在柏林科學(xué)院的院報(bào)上發(fā)表了一篇10頁長的關(guān)于Zeta函數(shù)（ζ（s）=■■）與素?cái)?shù)的關(guān)系的論文，這篇不長的論文即將對數(shù)論研究領(lǐng)域帶來如何的影響，誰也無法預(yù)料。通過Zeta函數(shù)這面鏡子，黎曼看到了變形后的素?cái)?shù)的形式。黎曼的論文就像《愛麗絲漫游奇境》中的兔子洞，將數(shù)學(xué)家領(lǐng)到一個(gè)全新的、與直覺相反的數(shù)學(xué)世界中。在隨后的日子里，數(shù)學(xué)家逐漸掌握了這種新的角度，他們開始理解黎曼的發(fā)現(xiàn)的必然性與卓越性。
　　黎曼在論文中對Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布給出一個(gè)猜測，這就是黎曼猜想（即ζ（s）的零點(diǎn)都在s復(fù)平面上的黎曼臨界線，即實(shí)部為■的直線上）。在涉及自己的猜想時(shí)，黎曼毫不隱瞞自身的弱點(diǎn)：“我應(yīng)當(dāng)給出一個(gè)嚴(yán)格的證明，但是我在數(shù)次徒勞嘗試之后，我不得不先將它擱置一旁，因?yàn)檫@并非我當(dāng)下要完成的目標(biāo)。”他的論文的目標(biāo)是證明高斯猜想，雖然黎曼并沒有最終達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，即給出高斯素?cái)?shù)猜想的證明答案，但是他的論文指出了研究這個(gè)領(lǐng)域的全新方法，并一直延續(xù)到了今天。
　　黎曼猜想提出后，引起了各個(gè)時(shí)代最杰出的數(shù)學(xué)家的注意，許多大數(shù)學(xué)家投入了大量的精力對其進(jìn)行了精心的研究。哥廷根大學(xué)的朗道（Edmund Landau）和他的丹麥同行玻爾（Harald Bohr）一起發(fā)起了對黎曼猜想的第一次有重大戰(zhàn)果的攻擊，證明了Zeta函數(shù)的大部分零點(diǎn)都落在黎曼的臨界線附近。緊接著，英國在經(jīng)過兩個(gè)世紀(jì)的對歐洲大陸思想的漠不關(guān)心后，英國數(shù)學(xué)界終于有了突破，劍橋大學(xué)三一學(xué)院的數(shù)學(xué)家哈代（Hardy）在1914年證明了有無窮多個(gè)零點(diǎn)落在臨界線。從那以后，從哥廷根到劍橋三一學(xué)院，再到普林斯頓高等研究院，再到巴黎的高等科學(xué)研究院……朗道、哈代、利特伍德、拉馬努楊、西格爾、塞爾伯格、阿蘭·科納……隨著數(shù)學(xué)的中心的遷徙和新的學(xué)派的形成，一個(gè)又一個(gè)杰出的數(shù)學(xué)家接住了向黎曼猜想進(jìn)軍的接力棒。一個(gè)又一個(gè)的研究成果出來了，對黎曼猜想的研究一直有不斷進(jìn)展，最近的研究結(jié)果頗為出人意料，是在研究基本粒子的量子物理的結(jié)果與黎曼猜想之間建立起了某種聯(lián)系。
　　當(dāng)年黎曼提出黎曼猜想是為解決高斯素?cái)?shù)猜想，而隨著黎曼猜想研究的進(jìn)展，高斯猜想也在1900年由法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪給出了證明。但數(shù)學(xué)家們就是無法最終解決黎曼猜想，而隨著研究的深入人們越來越發(fā)現(xiàn)黎曼猜想的重要性。于是有些數(shù)學(xué)家就另辟蹊徑，先假設(shè)黎曼猜想成立（這就是黎曼猜想又稱黎曼假設(shè)的原因），再在此前提下做研究，由此得到不少于上百個(gè)重要或深刻的結(jié)果，有些還是數(shù)學(xué)史上懸案已久的著名難題。即只要黎曼假設(shè)成立，這些結(jié)果就統(tǒng)統(tǒng)成立。例如我國著名數(shù)學(xué)家王元在1960年代就是在黎曼假設(shè)下證明了哥德巴赫猜想（1+4）。黎曼猜想的重要性由此可見一斑。
　　德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年的巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出了著名的二十三個(gè)問題，黎曼猜想就名列第八。希爾伯特曾預(yù)言，在他的有生之年可以看到黎曼猜想的解決，但直至希爾伯特逝世的1940年代乃至于今天，100多年過去了，雖然每個(gè)時(shí)代人類第一流的頭腦都在思考這個(gè)問題，也在連續(xù)不斷取得新的成果，但人類不但沒有解決黎曼猜想，就連離解決黎曼猜想還要走多遠(yuǎn)的路，也都說不出個(gè)所以然。對黎曼猜想，有的數(shù)學(xué)家卻持另外一種觀點(diǎn)，他們認(rèn)為：黎曼猜想最好不要解決，黎曼猜想就像一只會持續(xù)下金蛋的鵝，把它解決了反而像把鵝宰掉一樣。因?yàn)閿?shù)學(xué)家試圖解決黎曼猜想而提出的種種嶄新而深刻的研究方法，極大地開闊了人類研究的視野，促進(jìn)了整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。
　　上面所說的劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)家哈代是二十世紀(jì)上半葉最重要的數(shù)學(xué)家之一，他是一個(gè)無神論者，喜歡時(shí)不時(shí)跟上帝開個(gè)玩笑。每一次當(dāng)他要乘船渡過波濤洶涌的英吉利海峽時(shí)，就會給他的朋友寄一張明信片，告訴他們說他已經(jīng)想出了解決黎曼猜想的辦法。他解釋說：如果我解決了黎曼猜想，而還沒有將其證明發(fā)表出來，上帝就不會讓船沉沒，否則，人們就會傳說，哈代與黎曼猜想的證明一起沉到海底，上帝就要背上弄丟黎曼猜想證明答案的黑鍋。哈代跟上帝爭戰(zhàn)的策略成功了，每次他都安全地返回英國。哈代還說過，如果他能像古代的巴巴羅薩國王那樣沉睡五百年后醒過來，想說的第一句話就是：“黎曼猜想解決了嗎？”
　　在2000年新千年來臨之際，作為對100年前的1900年希爾伯特提出著名的二十三個(gè)問題的回應(yīng)，總部位于馬薩諸塞州劍橋市的克雷數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日公布了七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題（其中包括黎曼猜想在內(nèi)）。這七道問題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決。”解答任何一題的第一個(gè)人將獲頒予一百萬美元獎(jiǎng)金，以此向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出挑戰(zhàn)。于是在今天，黎曼猜想的證明有了價(jià)值——100萬美金。不過在此之前，早已有數(shù)學(xué)家提出另一個(gè)顯然更宏大的方案：如果黎曼猜想得到解決，全世界的數(shù)學(xué)家就應(yīng)統(tǒng)統(tǒng)放假一個(gè)月，以隆重的方式慶祝一番。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］［英］索伊托著.孫維昆譯.素?cái)?shù)的音樂［M］.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2007.