探索最值誤區，促進知識整合

摘 要： 最值問題是初中數學的重要內容，學生解題時由于思維不夠嚴密，常出現諸多誤區.本文列舉了一些常出現錯誤的例子，并提出了解決的方法.

關鍵詞： 初中數學教學 最值問題 思維誤區 知識整合

一

“最值”指變量在某一變化過程中取得的最大值或最小值.在新課標中，最值問題是初中數學的重要內容，在日常生活中有著廣泛的應用，如最大利潤問題、最大面積問題、最低運費問題等.最值問題包括函數最值問題、不等式最值問題和幾何最值問題等；在函數最值問題中，有二次函數最值、一次函數最值和反比例函數最值問題.

對于二次函數y=ax+bx+c，當a>0時，它的圖像開口向上，圖像存在最低點，二次函數有最小值，最小值是頂點的縱坐標的值；當a<0時，它的圖像開口向下，圖像存在最高點，最大值是頂點縱坐標的值.因而求二次函數的最值，即求二次函數的頂點的坐標.這樣一來，學生在接觸大量的二次函數最值問題后，就會形成一種思維定勢：解決最值問題，只需建立一個二次函數，求出頂點的坐標，其中頂點的縱坐標就是所求的最值。于是，出現了最值問題的諸多思維誤區.

（一）忽略了自變量取值范圍的限制.

在一個二次函數中，當自變量是全體實數時，頂點的縱坐標是這個函數的最大值或最小值.但當自變量的取值范圍不是全體實數時，函數的圖像是拋物線的一部分，頂點不一定落在部分的拋物線上.這時，以頂點的縱坐標作為所求的最值就不一定正確了.因此，求二次函數的最值，必須考慮頂點的橫坐標是否落在自變量的取值范圍內，否則會出現錯誤的結論.

例1：已知二次函數y=x2-2x-3，在2≤x≤3的范圍內求這個二次函數的最大值或最小值.學生往往會盲目地求出二次函數圖像的頂點坐標（1，-4），然后得出結論：因為a>0，所以二次函數有最小值，最小值是-4.這個的結論顯然是錯誤的.其實在2≤x≤3范圍內函數的圖像在對稱軸x=1的右側，且y隨x的增大而增大，故當x取最小數值2時，y的值最小為-3；當x取最大數值3時，y的值最大為0.事實上，在很多實際問題中，自變量往往受實際意義的限制，只能在某一范圍內取值.因此，求二次函數的最值必須關注自變量取值范圍對最值的影響，當頂點不在自變量取值范圍內時，必須利用函數的增減性，以自變量取值范圍中端點的函數值確定所求的最值.

（二）忽略了a的符號對最值的影響.

在某些問題中，建立起來的二次函數存在某一種最值，但要求的可能是另一種最值，因此不能盲目地用頂點縱坐標求最值，而應根據函數的增減性及自變量的取值范圍確定.

例2：如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上的一個動點，QP⊥AP交CD于Q，設PB=x，△ADQ的面積為y.

（1）求y與x之間的函數表達式；

（2）當點P運動到什么位置時，△ADQ的面積最大？

（三）忽略了其他函數在某一條件下存在最值.

在一次函數y=kx+b中，當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減少.利用一次函數的增減性質，結合實際問題中自變量的取值范圍，可解決有關最大利潤、最低運費等的實際問題.

例3：某報刊銷售亭從報社購進某晚報的價格是每份0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙還可以以每份0.2元的價格退回報社.在一個月內（以30天計算），有20天每天可以賣出100份，其余10天只能每天賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數必須都相同.若報亭每天從報社訂購報紙的份數為x（份），每月所獲得利潤為y（元）.

（1）寫出y與x之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；

（2）報亭應該每天從訂購多少份報紙，才能使每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

由題意可建立y與x的函數關系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.學生往往沒有注意到自變量的取值范圍，認為該函數不存在最值，因而無從下手.事實上由題設可知，自變量的取值范圍為60≤x≤100，且x為正整數，由于y隨x的增大而增大，故當x取最大數值100時，對應的y值最大，最大利潤為580元.

例4：某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發現此商品的銷售單價x（元）與日銷售量y（個）之間有如下關系：

（1）根據表中數據猜測并確定y與x之間的函數關系式；

（2）設經銷此賀卡的銷售利潤為w元，試求w與x之間的函數關系式.若物價局規定此賀卡的售價最高不能超過10元/個，請求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？

例5：在平面直角坐標系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），點P在y軸上，且PA+PB的值最小，求點P的坐標.

如圖，聯想在直線上到直線同側兩點距離和最小的點的作法，作出點A關于y軸的對稱點A′，求出直線A′B的函數表達式，再求出直線A′B與y軸的交點的坐標即為所求.這里，利用對稱性質把PA轉化，構造三角形兩邊和大于第三邊的不等模型，當點P落在這一特殊位置上時，PA+PB的值最小.

二

那么，如何引導學生走出最值問題思維的誤區呢？下面我談談在教學中的做法.

（一）引導多方思考，加強知識聯系.

最值問題，涉及知識面廣，解題方法靈活.出現以上誤區，原因之一在于思維定勢的負面效應，原因之二在于學生思維比較狹窄.因此，教學中應對一般二次函數的最值問題與其他最值問題進行比較，讓學生明確在什么情況下，可直接由二次函數的頂點坐標求最值；什么情況下，需借助函數增減性并利用自變量取值范圍求最值；什么情況下，需構造不等模型求最值.對生活中的函數問題、圖形中的函數問題，引導學生關注自變量的取值范圍，關注函數的增減性，加強相關知識的聯系，培養學生思維的廣闊性.

（二）借圖像識增減，提高思維效率.

生活及圖形中的函數最值問題，往往與函數自變量取值范圍（函數的有界性）及函數的增減性有關，這些從函關系式上理解比較困難，借助圖像觀察，往往一目了然.因此，在教學中，應通過引導學生對圖像的觀察，加深對函數有界性和增減性的理解，從中發現函數的變化規律，在加深函數認識的過程中去發現函數的最值，培養學生思維的獨創性.

（三）通過動態演示，發現不變規律.

對圖形中的最值問題，可以利用幾何畫板等制作動態圖形，借助圖形的動態演示，引導學生探索圖形性質，幫助建立圖形中的函數關系，發現新的結論；通過數值自動跟蹤及軌跡跟蹤.讓學生認識函數的有界性及增減性，認識函數的最值，從而激發學生學習興趣.如在上面的例2中，可用幾何畫板制作動態圖形，讓點P運動時，△ADQ的面積隨之變化，同時進行數值和軌跡跟蹤，讓學生通過觀察發現，當動點P運動到BC的中點時，在圖像上對應于拋物線的最低點，即頂點的坐標，說明頂點并非取得最大值，而是取得最小值.當點P向B運動時，函數的值趨近于8，當P與B重合時函數的值最大，最大值為8.

綜上可知，通過探索函數最值思維誤區及應對策略，既有利于避免出現解答最值問題上的錯誤，又有利于促進不同知識的整合.在教學中，首先必須讓學生熟練掌握用頂點坐標求二次函數最值的方法，通過不同最值問題的比較，形成最值問題解答技巧，提高綜合運用知識的能力.