基于CORDIC算法的線性調(diào)頻信號(hào)產(chǎn)生*

朱雙兵，楊維明，吳 恙，胡 晶

(湖北大學(xué)物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院，武漢430062)

線性調(diào)頻信號(hào)，又稱為chirp信號(hào)，其突出優(yōu)點(diǎn)是對(duì)多普勒頻移不敏感，即具有較大頻移的回波信號(hào)通過匹配濾波器后仍能得到較好的脈沖壓縮性能，并且輸出響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)與多普勒頻移成正比的附加時(shí)延，利用這一特性可以簡(jiǎn)化信號(hào)處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)［1］。

在通信、雷達(dá)和導(dǎo)航系統(tǒng)中高精度的DDS有著廣泛的應(yīng)用。近年來隨著電子技術(shù)的迅速發(fā)展，傳統(tǒng)的查表、多項(xiàng)式展開或近似實(shí)現(xiàn)DDS的方法需占用較多的存儲(chǔ)單元、高精度乘法運(yùn)算需花費(fèi)較多的運(yùn)算時(shí)間，不適應(yīng)現(xiàn)代電子系統(tǒng)在速度、精度和集成度實(shí)現(xiàn)方面的要求，而采用CORDIC［2］算法(坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算機(jī)算法)實(shí)現(xiàn)的DDS系統(tǒng)不需要查表、以移位和加法運(yùn)算代替乘法運(yùn)算，便于軟硬件實(shí)現(xiàn)，能滿足高性能系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求，因此受到人們的廣泛關(guān)注［3］。但現(xiàn)有文獻(xiàn)大多僅從理論上對(duì)CORDIC算法進(jìn)行了分析與仿真，缺乏基于該算法的硬件實(shí)現(xiàn)報(bào)道。

本文分析了CORDIC算法的原理，研究了該算法的硬件設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)方法，將調(diào)制后的相位進(jìn)行CORDIC算法處理后獲得線性調(diào)頻信號(hào)，通過在ModelSim上進(jìn)行RTL仿真，結(jié)果表明本設(shè)計(jì)方法是完全可行的。

1 線性調(diào)頻信號(hào)

1.1 線性調(diào)頻信號(hào)的時(shí)域特性

線性調(diào)頻信號(hào)LFM的信號(hào)頻率對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)［4］:

f(t)為瞬時(shí)頻率，u為調(diào)頻斜率，則相應(yīng)瞬時(shí)相位函數(shù)為:

時(shí)間寬度T的復(fù)數(shù)信號(hào)為:

其中u(t)為信號(hào)復(fù)包絡(luò)，u=B/T為頻率變化率，B為信號(hào)頻率，T為信號(hào)時(shí)間寬度，f0為信號(hào)的中心頻率。若令f0=0，得到零中頻信號(hào)即基帶信號(hào)，而復(fù)信號(hào)的實(shí)部和虛部則分別構(gòu)成兩路正交信號(hào)。

圖1給出了B=20 MHz，T=10 μs的 LFM 信號(hào)基帶波形。

圖1 LFM的實(shí)部和虛部

1.2 線性調(diào)頻信號(hào)的相位調(diào)制

根據(jù)上述線性調(diào)頻信號(hào)的相位調(diào)制函數(shù)，可以得出相位與時(shí)鐘之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在本設(shè)計(jì)中的時(shí)鐘頻率為50 MHz，即時(shí)鐘周期為20 ns。調(diào)頻信號(hào)的帶寬為B=20 MHz，脈沖寬度為T=10 μs，故可得頻率變化率為u=B/T=2×1012，瞬時(shí)相位(基帶信號(hào))為:

將連續(xù)時(shí)間t離散化:t=n×20 ns(其中n=0，1，2，3…表示時(shí)鐘周期的個(gè)數(shù))，則有:

使用Verilog硬件描述語言在FPGA上實(shí)現(xiàn)相位調(diào)制時(shí)，運(yùn)用有符號(hào)數(shù)的乘法即可實(shí)現(xiàn)。

2 CORDIC算法的原理與實(shí)現(xiàn)

CORDIC(坐標(biāo)旋轉(zhuǎn))算法的基本思想是:若要將一平面向量旋轉(zhuǎn)θ°，可以將此角度值分解成一系列基本角度，以這些基本角度值對(duì)向量進(jìn)行多次小角度旋轉(zhuǎn)，最終逼近角度θ。該算法的巧妙之處在于基本角度的選取恰好使得每次旋轉(zhuǎn)后，使中間向量的坐標(biāo)值可以用簡(jiǎn)單的移位和加減法操作得到。由于需要經(jīng)過多次旋轉(zhuǎn)以逼近角度θ，因而CORDIC算法是一種迭代算法。

2.1 CORDIC的旋轉(zhuǎn)模式

假設(shè)直角坐標(biāo)系內(nèi)有一初始向量OA1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ后到目標(biāo)向量OA2，如圖2所示。

圖2 CORDIC算法原理圖

用坐標(biāo)可表示為:

將上式展開有:

并用矩陣形式可表示如下:

若將OA1旋轉(zhuǎn)到OA2的過程分成n次旋轉(zhuǎn)，其中第i次旋轉(zhuǎn)角度為θi，那么第i次旋轉(zhuǎn)的表達(dá)式為:

式中cosθi=cos(arctan(2-i))。隨著旋轉(zhuǎn)次數(shù)的增加(本設(shè)計(jì)共旋轉(zhuǎn)15次)，該式收斂為一個(gè)常數(shù):

2.2CORDIC算法實(shí)現(xiàn)DDS

本文使用CORDIC算法來產(chǎn)生正弦和余弦信號(hào)，采用Verilog硬件描述語言［6］實(shí)現(xiàn)15級(jí)流水線結(jié)構(gòu)［7］。

設(shè)初始向量坐標(biāo)為(x0，y0)，與目標(biāo)向量(xn，yn)的夾角為z0。這里用zi表示第i次旋轉(zhuǎn)后與目標(biāo)角度之差，則有:

其中zi大于0時(shí)，Si=+1;zi小于0時(shí)，Si=-1;zi等于0時(shí)，Si=0。經(jīng)過n次旋轉(zhuǎn)以后得到以下結(jié)果［8］:

式中，x0，y0，z0為初始值，如果取x0=K，y0=0，z0=θ則迭代結(jié)果為:

所以將角度值(z0)輸入，最后的迭代結(jié)果xn和yn就是需角度θ的余弦和正弦值，在式(13)的迭代公式中，由于乘以2-i相當(dāng)于被乘數(shù)右移i位，因此乘法運(yùn)算在電路實(shí)現(xiàn)時(shí)可以簡(jiǎn)化為移位運(yùn)算，因此只需要加減法和移位運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)CORDIC算法。

每次旋轉(zhuǎn)的角度值是固定的，即2-i的反正切，將此角度值預(yù)先算出，根據(jù)流水線的級(jí)數(shù)直接調(diào)用相應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度的值，相應(yīng)Verilog代碼如下:

在旋轉(zhuǎn)過程中需要對(duì)角度的反正切進(jìn)行移位操作，而在移位過程中必須保證移位結(jié)果的正確性，特別是負(fù)數(shù)的移位操作，而對(duì)于Verilog中有數(shù)據(jù)的算術(shù)移位操作(＞＞＞)，在計(jì)算過程中會(huì)出錯(cuò)，例如在計(jì)算0度的正弦時(shí)，第八級(jí)流水線單元的輸入為Xi=32 767，Yi=-25，經(jīng)計(jì)算后輸出為Xo=32 767-(-25＞＞＞7)，其理論結(jié)果應(yīng)仍為Xo=32 767，即-25右移7位后結(jié)果應(yīng)為零，但算術(shù)移位運(yùn)算對(duì)-25操作后并不為零，由此算出的Xo溢出，導(dǎo)致后續(xù)流水單元相繼出錯(cuò)。改進(jìn)算法通過判斷輸入符號(hào)位，當(dāng)符號(hào)位為1，即負(fù)數(shù)時(shí)，先對(duì)輸入取反加1后再邏輯右移相應(yīng)位數(shù)，然后將右移后的結(jié)果取反加1，即可正確快速地實(shí)現(xiàn)負(fù)數(shù)移位操作;當(dāng)符號(hào)位為0，則直接進(jìn)行邏輯右移。Verilog移位操作函數(shù)如下:

15級(jí)流水線的CORDIC算法模塊經(jīng)QuartusⅡ綜合后的RTL如圖3所示。其中每一級(jí)單元如圖4所示。

圖3 流水線結(jié)構(gòu)的CORDIC算法RTL圖

圖4 每一級(jí)流水線單元

在輸入端輸入相應(yīng)的相角值即可算出相應(yīng)的正弦和余弦幅值。在本設(shè)計(jì)中相角輸入為20位寬度，則1度對(duì)應(yīng)的相角值為:

使用CORDIC算法產(chǎn)生正余弦信號(hào)的RTL仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 CORDIC算法實(shí)現(xiàn)DDS波形

3 線性調(diào)頻信號(hào)的產(chǎn)生

在上節(jié)中的DDS模塊輸入線性調(diào)頻信號(hào)的已調(diào)制相位后，即可得出線性調(diào)頻信號(hào)。首先需要相位調(diào)制模塊，本設(shè)計(jì)中時(shí)鐘頻率為50 MHz，根據(jù)1.2節(jié)中相位與時(shí)鐘之間的關(guān)系:θn=2 512×n2×10-6，通過時(shí)鐘計(jì)數(shù)后得出瞬時(shí)相位。

由此得到的相位還需要進(jìn)行相位映射，因?yàn)镃ORDIC的輸入范圍(經(jīng)15次旋轉(zhuǎn)的角度之和)為:98.883°～+98.883°，這里將調(diào)制后的相位θn映射-在-90°～ +90°范圍內(nèi)。當(dāng)0°≤θn≤90°，相位值不變;當(dāng)90°＜θn≤180°時(shí)，相位值映射到第一象限為(180-θn)即0°＜θn≤90°;當(dāng)180°＜θn≤270°，相位值映射到第四象限為(180°-θn)即-90°≤θn＜0°;當(dāng) 270°＜θn≤360°，相位值映射到第四象限為(θn-360。)即-90°＜θn≤0°。象限的映射轉(zhuǎn)換如圖6所示。

圖6 象限映射轉(zhuǎn)換圖

象限映射后，在整個(gè)2π周期內(nèi)的相位都可以通過CORDIC模塊得出正確的正弦和余弦值。而在-90°～+90°范圍內(nèi)，余弦輸出只能為正，所以當(dāng)90°＜θn≤270°時(shí)，還需將 CORDIC 的余弦輸出值求反。將線性調(diào)制后的相位先映射至CORDIC的輸入范圍內(nèi)，即可輸出線性調(diào)頻信號(hào)。整個(gè)工程在QuartusⅡ中綜合得出的RTL如圖7所示。

圖7 線性調(diào)頻信號(hào)產(chǎn)生的RTL圖

在ModelSim中的RTL仿真結(jié)果如圖8所示，圖中上為實(shí)部波形，下為虛部波形。

圖8 脈沖線性調(diào)頻信號(hào)的波形

4 結(jié)論

本文分析了線性調(diào)頻信號(hào)和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)算法的基本原理，采用Verilog硬件描述語言設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)算法的 DDS，并產(chǎn)生了線性調(diào)頻信號(hào)。ModelSim仿真結(jié)果表明:該方法與傳統(tǒng)查表法實(shí)現(xiàn)DDS的LFM信號(hào)產(chǎn)生方法相比，更節(jié)省硬件資源，并具有更高的精度和運(yùn)算速度。

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