中職數(shù)學(xué)中的一元線性回歸教學(xué)技巧探討

摘 要： 回歸分析在中職數(shù)學(xué)中屬于難度較大的內(nèi)容，理解回歸分析的思想、回歸方程與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別、回歸與相關(guān)的聯(lián)系與區(qū)別、回歸方程的估計(jì)與解釋等問題，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)等相關(guān)課程的必備基礎(chǔ)。本文對一元線性回歸的教學(xué)內(nèi)容、形式、技巧作探討。使用案例教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)等教學(xué)方法，使得中職學(xué)生能夠深入理解回歸分析并學(xué)以致用。

關(guān)鍵詞： 中職數(shù)學(xué)教學(xué) 一元線性回歸 教學(xué)技巧

正如哲學(xué)所言，事物是變化的，于是有了變量。而一切自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象都不是孤立存在和變化的，事物與事物之間，變量與變量之間，都存在著某種關(guān)系。這類關(guān)系大體可分為兩類：一類是確定性的，可以用函數(shù)關(guān)系表述。另一類是非確定性的，可以用統(tǒng)計(jì)關(guān)系表述。而回歸分析是度量統(tǒng)計(jì)關(guān)系的方法中很常見和重要的一種。回歸分析在中職數(shù)學(xué)中屬于難度較大的內(nèi)容，理解回歸分析的思想、回歸方程與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別、回歸與相關(guān)的聯(lián)系與區(qū)別、回歸方程的估計(jì)與解釋等問題，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)等相關(guān)課程的必備基礎(chǔ)。本文對一元線性回歸的教學(xué)內(nèi)容、形式、技巧作探討。在教學(xué)中使用案例教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)等教學(xué)方法與技巧，使得中職學(xué)生能夠深入理解回歸分析并學(xué)以致用。

一、回歸方程與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)回歸方程和函數(shù)公式法表達(dá)式非常像，比如一元線性回歸方程的樣本回歸方程就是一條直線，也如函數(shù)表達(dá)式一樣由y和x表達(dá)，也可以叫因變量和自變量，也能代入x解出y的點(diǎn)估計(jì)值，斜率系數(shù)也可以和微積分中一樣解釋為導(dǎo)數(shù)，截距系數(shù)的解釋也一樣表示x=0時(shí)y的取值。所以學(xué)生容易把兩者混淆，認(rèn)為既然兩者那么類似，為什么要那么辛苦地學(xué)習(xí)回歸分析呢？所以筆者認(rèn)為講解回歸分析，首先要讓學(xué)生理解回歸分析與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

一切自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象都不是孤立存在和變化的，事物與事物之間，變量與變量之間，都存在著某種關(guān)系。這類關(guān)系大體可分為兩類：一類是確定性的，可以用函數(shù)關(guān)系表述。另一類是非確定性的，可以用統(tǒng)計(jì)關(guān)系表述。而回歸分析是度量統(tǒng)計(jì)關(guān)系的方法中很常見和重要的一種?？梢耘e一些函數(shù)關(guān)系的例子：某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系可表示為y=px（p為單價(jià)）；圓的面積S與半

函數(shù)關(guān)系 統(tǒng)計(jì)關(guān)系

圖1 函數(shù)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)關(guān)系圖形表述的聯(lián)系與區(qū)別

函數(shù)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別可以借用哲學(xué)語言，函數(shù)關(guān)系只關(guān)注必然性，認(rèn)為x與y的關(guān)系是必然的，沒有偶然性的。而統(tǒng)計(jì)關(guān)系（包含回歸分析）是兼顧必然性與偶然性，試圖在偶然性中找到必然性，這種必然性的表達(dá)就會(huì)類似于函數(shù)表達(dá)式，但是統(tǒng)計(jì)關(guān)系總是保留偶然性，不會(huì)忽視偶然性，正所謂偶然性與必然性的對立統(tǒng)一。

二、先講解相關(guān)分析再講解回歸分析。

相關(guān)分析和回歸分析具有非常密切的聯(lián)系，首先，變量間有相關(guān)關(guān)系才可以做回歸分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要把兩個(gè)變量放在一起做回歸就能夠得到回歸方程，就容易以為是數(shù)學(xué)游戲，不管變量間是否具有理論與常識(shí)中的關(guān)系，都使用回歸分析，造成誤用，得到的結(jié)果也無法解釋或者缺乏現(xiàn)實(shí)意義，這就是偽相關(guān)和偽回歸?？梢耘e以下例子：G.烏迪內(nèi)·尤樂在1926年發(fā)現(xiàn)用英格蘭和威爾士1866—1911年間人口死亡率的年數(shù)據(jù)與英格蘭所有結(jié)婚中到教堂舉行儀式所占比例的相關(guān)系數(shù)是+0.95，然而沒有一個(gè)英國政客為了賜予選民長生不老而提議關(guān)閉英格蘭的教堂。韓德瑞發(fā)現(xiàn)，在英國，通貨膨脹率與年累計(jì)降雨量有很強(qiáng)的正向關(guān)系，那么，如果英國能夠降低其通貨膨脹率，作為獎(jiǎng)勵(lì)，就可以享受改善氣候之無法估計(jì)的意外效果，那該多好啊。但是，這種絕妙的結(jié)合是不會(huì)發(fā)生的。

最簡單的相關(guān)分析，就是做出皮爾遜簡單相關(guān)系數(shù)r，但是r有很大的缺陷，比如圖2中AB兩條直線的相關(guān)系數(shù)r是一樣的，但是x與y的關(guān)系明顯不同，斜率與截距都不同，那么怎么表達(dá)出來呢？回歸分析可以區(qū)分兩條直線，這就導(dǎo)入了回歸分析。

圖2 兩組樣本具有相同的相關(guān)系數(shù)不同的回歸方程

三、應(yīng)用啟發(fā)式教學(xué)方法從圖形視角理解最小二乘法。

面對圖2這樣的樣本點(diǎn)，怎樣得到回歸方程的估計(jì)呢？根據(jù)數(shù)形合一，即怎樣在圖形里面畫直線最好，最能夠提煉挖掘樣本點(diǎn)的信息呢？這里我們使用啟發(fā)式教學(xué)方法，或者類似于蘇格拉底問答法。首先提問：面對這些樣本點(diǎn)，怎樣作一條最好的直線，最能代表樣本點(diǎn)所蘊(yùn)含的信息呢？有學(xué)生說：讓直線穿過所有的點(diǎn)，我問：你能夠找到這樣的直線嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能。又有人提出：兩點(diǎn)決定一條直線，可以用兩點(diǎn)。我反問：用哪兩個(gè)點(diǎn)，為什么？丟棄信息的方法是最優(yōu)的嗎？如果可以這樣，為什么說抽取樣本越多越精確呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法回答，只得出不能只看兩個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該考慮全部的樣本，而且得出直線離這些樣本點(diǎn)最近就可以了。怎么表示最近呢？點(diǎn)離直線的距離的度量有幾種，比如歐式距離、水平距離、垂直距離，其中垂直距離容易處理，而且現(xiàn)實(shí)意義豐富，因?yàn)榫褪菢颖军c(diǎn)真實(shí)值與樣本回歸直線估計(jì)值的差距，即為殘差。有學(xué)生說：殘差之和最小就可以了。我問：殘差有正負(fù)數(shù)，如果相互抵消是否會(huì)誤導(dǎo)？學(xué)生回答：那就用絕對值去掉負(fù)號(hào)。我又問：我們在學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)的解不等式和方程時(shí)，遇到絕對值都覺得不方便處理，這里用絕對值就會(huì)導(dǎo)致連加號(hào)不方便運(yùn)算，怎么辦？有學(xué)生回答：取平方。于是得到殘差平方和最小表示樣本回歸直線是最好的。從而把問題變成求最小值的問題了，而這就是最小二乘法的來由。

此時(shí)引入孔子在《中庸》所說的“道不遠(yuǎn)人”，子曰：“道不遠(yuǎn)人，人之為道而遠(yuǎn)人，不可以為道?！奔粗杏怪朗请x人不遠(yuǎn)的，假使有人遵行中庸之道而遠(yuǎn)離人群，那就不可以稱之為道了。物理學(xué)家名言：電場、磁場就像我身邊的桌子和椅子一樣真實(shí)地存在。數(shù)學(xué)難道離我們遠(yuǎn)嗎？你不也會(huì)有這種直覺嗎？只是數(shù)學(xué)形成一個(gè)邏輯體系，對我們的直覺證實(shí)或證偽而已，于是更為嚴(yán)謹(jǐn)、簡練、精確。同時(shí)數(shù)學(xué)形式上更為抽象、深?yuàn)W、晦澀。

四、鼓勵(lì)學(xué)生自己搜集數(shù)據(jù)，操作軟件解決實(shí)踐中的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力。

可以舉實(shí)際生活中一些有趣的例子，比如：假設(shè)你接受了一份暑期工作，在當(dāng)?shù)氐挠螛穲@給游客猜體重。如果你對他們體重的猜測誤差不超過3公斤，游客將付給你5元，而當(dāng)誤差超過3公斤時(shí)，你就要給游客一個(gè)小獎(jiǎng)品，而每個(gè)獎(jiǎng)品都是你花1元買來的。幸運(yùn)的是，游樂園的經(jīng)理在游客背后的墻壁上做了一些高度標(biāo)記，使你能夠準(zhǔn)確地測量出游客的身高。除了身高和（通常還有）性別外，你無法得到游客更多的信息。怎樣讓你盈利盡可能多呢？你決定搜集數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，用于估計(jì)身高和體重之間的關(guān)系。因?yàn)榇蟛糠值膮⑴c者都是男性（女性那么喜歡減肥，才不愿意和你猜體重），你決定將你的樣本局限于男性。這樣的實(shí)踐案例，既能夠讓學(xué)生在趣味實(shí)踐中鞏固知識(shí)，加深理解，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力，又能夠提高學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)興趣，有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)，形成良性循環(huán)。

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