數學思想方法在數列教學中的運用

【摘要】數列與函數可以看作是特殊與一般的關系，正是二者之間的這種關系，使得函數思想方法成為了解決數列問題的一種重要思想方法。數列是高中數學的重點和難點，作為數學教師，應明確能夠有效解決數列問題的數學思想方法，在教學過程中引導學生采用適當的數學思想方法解決數列問題，讓學生能夠熟練運用數學思想方法解決數列問題。教學過程中應重視學生數學思想方法的運用。本文對一些適用于數列的思想方法做了簡要的分析和總結。

【關鍵詞】數學思想方法 數列 教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0156-01

一、前言

數學思想是將知識與能力聯系在一起的紐帶，是解數學題過程中所遵循的指導思想。數學思想運用的正確與否，決定了解題過程的繁簡程度。數列是高中數學的一個重點，與其相關的解題過程蘊含著多種數學思想方法，正確的數學思想方法往往使得一些數列難題迎刃而解。而且數列是高考數學的難點，阻礙著許多學生的數學成績進一步提升。所以，作為高中數學教師，要充分的挖掘與數列相關的數學思想方法，并教授學生如何運用數學思想方法解決數列難題，幫助學生提高解決數列問題的能力。筆者結合多年數學教學經驗，對適應數列教學的數學思想方法進行了分析和總結，現簡要概括如下：

二、數列教學中常用的數學思想方法

1.函數的思想方法

數列與函數可以看作是特殊與一般的關系，正是二者之間的這種關系，使得函數思想方法成為了解決數列問題的一種重要思想方法。在數列知識內容的講授過程中，我們可以將數列作為函數的一種特值，采用所熟悉的函數方法來處理數列問題。通過運用相關的函數思想，可以研究等比數列和等差數列的性質關系，也可以研究數列的最值和單調性問題。

例如：已知等差數列{an}，其首項為a1（a1>0），前n項和Sn，滿足Sx=Sy（x≠y）。求Sx+y，前幾項和最大？

根據等差數列的性質我們可以將等差數列看作一次函數，前n項和看作是二次函數。即an=an+b（a=b≠0），Sn=An2+Bn（a=b≠0）。所以，根據題意中的Sx=Sy，我們可以根據二次函數列出Ax2+Bx=Ay2+By，整理后即可得出：（x-y）[A（x+y）+B]=0，所以A（x+y）+B=0，所以Sx+y=A（x+y）2+B（x+y）=（x+y）[A（x+y）+B]=0。在求前幾項和最大時，同樣采用二次函數，列出函數S（x）=Ax2+Bx（A<0），由于S（0）=0，Sx+y=0，所以S（x）是X=■以為對稱軸的函數，所以我們可以根據二次函數的圖像性質得出當x，y為一奇一偶時，前■、■項和最大，當x，y為同奇或同偶時，前■項和最大。

除上述函數思想方法以外，還可以通過函數的觀點研究數列的周期性，也可以研究數列之間的相互轉化，教師應熟練把握函數思想在解決數列問題上的應用，并幫助學生熟練運用函數思想解決數列問題。

2.分類討論的思想方法

分類討論法主要使用于在整個論域內無法解決問題的題型，這種情況下，往往按照解題要求將整個論域劃分為幾個小的論域，然后在每個論域下分別解題。在數列的相關題型中，有一些題型需要分類討論解題，采用分類討論的思想方法，可以簡化一些數列問題。

例如：已知數列{an}的前n項和為Sn=32-n2，求數列{|an|}的前n項和F。

在這一題中，可知a1=s1=31，所以當n≥2時，可以根據公式an=Sn-Sn-1求出數列an的解析式，即an=-2n+33；然后根據數列的解析式可以看出數列{an}是以31為首項，-2為公差的等差數列，所以其Sn會隨n的逐漸增加會先增加后減少。所以要分開討論，討論的依據就是數列{an}是否為正數。所以根據-2n-33≥0可得出n≤16.5，所以當n≤16時，an為正數，所以當n≥16時，an為負數，即n=16確定為要討論的點。然后就可以根據等差數列的前n項和確定Fn。

3.類比推理的思想方法

在高中數學中，類比推理是解決數學問題的重要手段，一些數列問題，采用類比方法也會得到比較顯著的效果。所謂類比推理，就是通過比較和分析，發現不同式子或概念之間的共有關系，進而達到解題的目的。例如等比數列和等差數列之間的類比，可以通過等比數列的性質：如果p+q=m+n，則bpbq=bmbn，類比出等差數列如果p+q=m+n，則bp+bq=bm+bn。因為通過類比不難發現，將等比數列的公比q換成等差數列的公差d，并將“乘除”換成“加減”，就可以根據等比數列的性質類比等差數列的性質。除此之外，還可以根據等比數列和等差數列概念、定理進行相互類比。而且，近幾年的高考及各地的模擬試卷中出現了多次數列類比推理問題，可見，類比推理已成為數列問題的考察重點。所以，作為數學教師，在講授與類比推理相關的問題時，應重視學生這一獨特思維方式的培養，鍛煉學生采用類比推理思想解題的能力。

4.方程的思想方法

所謂方程的思想，就是分析問題的數量關系，然后使用數學的特定格式，將問題的一些數量關系轉化成數學模型，例如將函數轉化成方程，然后通過解方程來解決函數問題。在數列問題中，由于數列可以看做特殊的函數，所以也可以將數列轉化成方程來解決問題。

例如，已知等差數列{an}，且數列bn=（■）■，b1b2b3=■，b1+b2+b3=■，求an。

由等差數列的性質我們可以得出，b1b2b3=（■）■=（■）■=[（■）■]■=■，我們可以得出b2=（■）■=■。根據這一結論，我們就可以將數列轉化成方程，得到方程b1b3=■，b1+b3=■，通過解方程就可以得出b1和b3的值，進而求出a1=3，d=-2或a1=-1，d=2，就可以通過a1和d求出an分別問an=5-2n或an=2n-3。

方程的思想是一種學生從小學就開始培養的數學思想，學生已經熟練掌握了對這種思想的運用，但在數列知識的教學過程中，如何將數列與方程銜接是運用方程思想解決數列問題的關鍵。因此，在講解相關數列問題時，教師應引導學生尋找數列和方程的銜接點，進而提高學生的解題能力。

三、小結

數列是高中數學的重點和難點，作為數學教師，應明確能夠有效解決數列問題的數學思想方法，在教學過程中引導學生采用適當的數學思想方法解決數列問題，讓學生能夠熟練運用數學思想方法解決數列問題。提高數列教學的效果，對于提高學生的應考能力都是一個大課題，作為老師要充分認識這部分內容的重要性，采取恰當的教學方法，優化教學模式，引導學生掌握必要的解題技巧和解題方法。

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