指數函數題目易錯點剖析

指數函數及相關性質的考查是高中數學的主要內容，在解題過程中，由于對基本概念、基本性質的掌握不夠準確，學生經常會犯一些這樣或那樣的錯誤.現就學生在解題過程中出現的常見錯誤進行剖析、總結，希望能對學生的學習有所幫助.

一、對指數函數的概念理解不到位而致錯

【例1】下列函數一定是指數函數的是（）.

A.y=xa（a>0且a≠1）

B.y=（a2+2|a|+2）-x

C.y=2ax

D.y=（a+b）-x

錯解：A、C、D.

剖析：選項A錯在x應為指數而不是底數；選項C錯在忽視了指數函數的結構為y=ax，前面系數為1；選項D中忽略了底數的范圍，按定義必須a>0且a≠1.只有選項B才是正確的，因為a2+2|a|+2=（|a|+1）2+1≥2滿足底數的取值范圍.

正解：選B.

二、忽略了指數函數的有界性而致錯

【例2】求函數y=（19）x+（13）x+1的值域.

錯解：令t=（13）x，則

y=t2+t+1=（t+12）2+34≥34.

故ymin=34.

所以函數的值域為[34，+∞）.

剖析：在換元t=（13）x時，要利用指數函數的圖象與性質確定y的范圍，若忽略了這一點，即t=（13）x>0必然導致錯誤.

正確：令t=（13）x，

則y=t2+t+1=（t+12）2+34.

又因為t>0，

y=（t+12）2+34在（0，+∞）為增函數，

所以y>1，即函數的值域為（1，+∞）.

三、忽略指數函數底數的范圍而致錯

【例3】求函數y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）的單調遞增區間.

錯解：令t=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，

設任意x1

則-x21-4x1+2<-x22-4x2+2.

所以a-x21-4x1+2

即f（x1）

故y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）在（-∞，-2]上為增函數.

剖析：對于指數函數單調性的討論，必須分底數大于1和底數大于0且小于1兩種情況來討論.

正解：令t=-x2-4x+2=-（x+2）2+6.

設任意x1

則-x2-4x1+2<-x2-4x2+2.

當a>1時，a-x21-4x1+2

即f（x1）

故y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）在（-∞，-2]上為增函數.

當0

四、理解指數函數的圖象和性質不到位而致錯

【例4】函數y=ax+2+3（a>0且a≠1）恒過一個定點.

錯解：（0，1）.

剖析：將函數y=ax的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位就得到y=ax+2+3（a>0且a≠1）的圖象.

正解：因為指數函數y=ax恒過定點（0，1），所以y=ax+2+3（a>0且a≠1）必恒過定點（-2，4）.

（責任編輯金鈴）