含參量函數(shù)恒成立問題解法例析

縱觀近幾年的新課標(biāo)全國卷，幾乎都是以函數(shù)問題作為最后的壓軸題，而函數(shù)問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的理解和應(yīng)用.函數(shù)中的恒成立問題往往是融合了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等，考查學(xué)生解決綜合問題的能力.我們在這里對兩種常見的含參量的恒成立問題的解決方法進(jìn)行簡單總結(jié).

一、分離參量法

【例1】已知函數(shù)f（x）=xlnx，對于任意正實(shí)數(shù)x，不等式f（x）>kx-12恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析：由于x>0，

所以f（x）=xlnx>kx-12，

∴k

令k（x）=lnx+12x，

則令k′（x）=1x-12x2=2x-12x2=0，

得x=12.

當(dāng)x∈（0，12）時，k′（x）<0；

當(dāng)x∈（12，+∞）時，k′（x）>0.

則x=12時取得最小值，

k（x）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.

∴k的取值范圍是（-∞，1-ln2）.

點(diǎn)評：對于恒成立的不等式中，如果求的參量很容易分離出來，不等號的另一側(cè)構(gòu)造x的函數(shù)，對于x取值范圍內(nèi)任意一個數(shù)都有a≥f（x）恒成立，則a≥f（x）max，若a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）min.這種方法是學(xué)生最常用的方法，但其缺點(diǎn)是往往需要進(jìn)行多次求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)遇到不等式中含有對數(shù)等符號時會比較困難.

二、參數(shù)討論法

【例2】已知函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.若f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立，求a的取值范圍.

解析：∵f（1）=1-1=0，

∴a+b+c=0，

又f′（1）=a-b=1，

∴b=a-1，

c=1-2a.

令g（x）=f（x）-lnx=ax+a-1ax+1-2a-lnx.

∵x∈（0，1]，

∴g（1）=0，

g′（x）=a-a-1x2-1x=ax2（x-1）（x-1-aa）.

當(dāng)0

∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，

∴g（x）≤g（1）=0，

此時f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立.

當(dāng)a>12時，則有1a-1<1，

記a1=max{1a-1，0}，對任意x∈（a1，1）都有g(shù)′（x）<0，∴g（x）在（a1，1）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x∈（a1，1）時，有g(shù)（x）>g（1）=0，

此時f（x）≤lnx在（0，1]上非恒成立.

綜上，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立時，a的范圍為（0，12].

點(diǎn)評：將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為f（x）≥0或f（x）≤0形式，即f（x）min≥0或f（x）max≤0，通過對參量的討論，尋找函數(shù)的單調(diào)性，繼而求得函數(shù)的最值.對于分類討論的問題，要求學(xué)生能準(zhǔn)確找到參量討論的分界點(diǎn)，在可取范圍內(nèi)的討論做到不重不漏.

恒成立求參量的問題無論采取何種方法，本質(zhì)上都是利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，這也是函數(shù)問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要學(xué)生通過分析抓住式子的特征，靈活變形，以最合適的方法解決問題.

（責(zé)任編輯金鈴）