空間平面向量方向判定的兩種方法

二面角的平面角是高考的一個重點內容，也是熱點內容，怎樣利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我們知道二面角的大小與法向量的夾角的關系“同內同外是互補，一內一外是相等”，關鍵是判定兩個平面的法向量相對于二面角的面的方向，當平面與空間坐標系中的三個平面平行或重合時，平面的法向量很容易判定.下面介紹除此之外的平面的法向量的方向的兩種判定方法.

方法1：坐標法.在空間直角坐標系內，坐標平面把空間分為八個卦限，在每個卦限內，點的坐標的符號是不變的，可以利用始點在原點的向量和空間內的點之間的一一對應關系，判定平面的法向量相對于某個平面的方向.

方法2：參照向量法.二面角法向量方向的判定可以取一個向量作為參照向量.如圖1.設平面α的法向量為n，在二面角α-l-β內的一個參照向量為n0，當n·n0>0時，顯然n與n0的夾角為銳角，我們稱法向量的方向指向二面角的內部；如圖2，當n·n0<0時，顯然n與n0的夾角為鈍角，我們稱法向量的方向指向二面角的外部.（一般情況下，參照向量的始點和終點分別取在兩個半平面內，判定哪個平面的法向量的方向，參照向量的始點取在哪個平面）

圖1圖2

【例】（2005，全國）如圖3，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

圖3（1）證明：AB⊥平面VAD，

（2）求平面VAD與平面VBD所成的二面角的大小.

方法1：如圖3所示，建立空間直角坐標系，不妨設A（1，0，0），B（1，1，0），V（12，0，32），D（0，0，0），

則AB=（0，1，0），DB=（1，1，0），DV=（12，0，32）.

設平面VBD的一個法向量為n=（x，y，z），

則n·DB=0，n·DV=0，

即x+y=0，12x+32z=0.

令z=1，解得x=-3，y=3，

所以n=（-3，3，1）.

因為點（-3，3，1）在第二卦限，所以n穿過平面VDB指向二面角的外部，

又因為AB是平面VAD的法向量，指向二面角的內部，所以AB與n所成的角為二面角的平面角，

所以cos〈AB·n〉=ABn|AB|·|n|=31·7=217.

方法2：由方法（1）知，平面VDB的一個法向量為n=（-3，3，1），

取參照向量為BA（向量的始點在平面VDB內），

因為BA=（0，-1，0），

又因為BA·n=0-3+0=-3<0.

所以n的方向指向二面角A-VD-B的平面VDB的外部.

（責任編輯金鈴）