勾股數的探索

初中數學課本蘇科版（八年級上冊）《綜合與實踐活動》第26頁《勾股數的探索》，課本部分內容如下：

與直角三角形三條邊長對應的三個正整數（a，b，c）稱為勾股數.《周髀算經》中記載的“勾三股四玄五”中的（3，4，5）就是一組最簡單的勾股數.顯然，這組數的整數倍，如（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股數.

當然，勾股數遠遠不止這些，如（5，12，13），（8，15，17）等也都是勾股數.

怎樣探索勾股數呢？即怎樣的一組正整數（a，b，c），才能滿足關系式a2+b2=c2？

活動1：設（a，b，c）為一組勾股數，填表：

活動2：（1）在表1中，a為奇數，正整數b和c之間的數量關系是_____，b、c與a2之間的關系是_____，根據以上規律，寫出勾股數（13，_____，_____）.

（2）一般的，當a=2n+1（n為正整數）時，請給出計算勾股數的一組公式.

活動3：（1）在表2中，a為大于4的偶數，正整數b和c之間的數量關系是_____，b、c與a2之間的關系是_____，根據以上規律，寫出勾股數（16，_____，_____）.

（2）一般的，當a=2n（n>2正整數）時，請給出計算勾股數的一組公式.

課本答案：活動1：40，60、61；35，48、50.

活動2：（1）c=b+1，b+c=a2，84，85.

（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）

活動3：（1）c=b+2，b+c=a2，63，65.

（2）（2n，n2-1，n2+1）

對教材的分析與理解：

（1）對于勾股數（a，b，c）中，當a為奇數時，c比b大1，即c=b+1，于是，b+c=a2，b=（a2-1）.所以，只要給定一個奇數a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股數組（a，b，c）的值.

（2）對于勾股數（a，b，c）中，當a為大于4的偶數時，c比b大2，即c=b+2，于是，b+c=a2，b=（a2-22）.所以，只要給定一個偶數a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股數組（a，b，c）的值.

探索與發現：怎樣探索勾股數呢？在已知一個數a的條件下，這樣的一組正整數（a，b，c），并且滿足關系式a2+b2=c2中的正整數b和c是唯一的嗎？

請看下面的表3和表4：

觀察表3，當a為奇數時，發現正整數b和c之間的數量關系不僅僅是c=b+1，還可以是c=b+3，和c=b+5，c=b+7，c=b+9…b、c

與a2之間的關系又是什么呢？.

經過仔細的觀察與思考，我們發現c比b大的數有1，3，5，7，9…這些數正好是a中正的真奇數因數.

觀察表4，當a為大于4的偶數時，發現正整數b和c之間的數量關系不僅僅是c=b+2，還可以是c=b+4，和c=b+6，c=b+8，c=b+10…b、c與a2之間的關系又是什么呢？

經過仔細的觀察與思考，我們發現c比b大的數有2，4，6，8，10…的這些數，正好是a中正的真偶數因數.

所以，只要給出一個數a的值，我們就很快地找到a的真因數m，通過a和m的數值就可以求出b、c的值，從而求出勾股數（a，b，c）.

結論：一般的，在勾股數（a，b，c）中，a

（1）當a為奇數時，m是a的真奇數因數，

則有：c=b+m，b+c=2，b=（a2-m2）.

（2）當a為大于4的偶數時，m是a的真偶數因數，

則有：c=b+m，b+c=a2，b=（a2-m2），

運用：（1）已知，a=21，求勾股數（a，b，c）.

解：∵a=21是奇數，∴m=1，3，7（21的真奇數因數1，3，7）.

①當m=1時，b=（a2-m2）=（212-12）=220，c=b+m=221，

∴勾股數（a，b，c）=（21，220，221）.

②當m=3時，b=（a2-m2）=（212-32）=72，c=b+m=75，

∴勾股數（a，b，c）=（21，72，75）.

③當m=7時，b=（a2-m2）=（212-72）=28，c=b+m=35，

∴勾股數（a，b，c）=（21，28，35）.

∴滿足條件的勾股數（a，b，c）有三組：

即（a，b，c）=（21，220，221），（21，72，75），（21，28，35）。

（2）已知，a=24，求勾股數（a，b，c）.

解：∵a=24是偶數，∴m=2，4，6，8，12（24的真偶數因數2，4，6，8，12）

①當m=2時，b=（a2-m2）=（242-22）=143，c=b+m=145，

∴勾股數（a，b，c）=（24，143，145）.

②當m=4時，b=（a2-m2）=（242-42）=70，c=b+m=74，

∴勾股數（a，b，c）=（24，70，74）.

③當m=6時，b=（a2-m2）=（242-62）=45，c=b+m=51，

∴勾股數（a，b，c）=（24，45，51）.

④當m=8時，b=（a2-m2）=（242-82）=32，c=b+m=40，

∴勾股數（a，b，c）=（24，32，40）.

⑤當m=12時，b=（a2-m2）=（242-122）=18，c=b+m=30，

∴勾股數（a，b，c）=（24，18，30）.

∴滿足條件的勾股數（a，b，c）有五組：

即（a，b，c）=（24，143，145），（24，70，74），（24，45，51），（24，32，40），（24，18，30）.

（作者單位 江蘇省南京市六合區瓜埠初級中學）

編輯 司 楠