借助幾何直觀 理解本質內涵

不完全歸納法是小學階段教學運算定律或性質的常用方式，其基本流程一般為：觀察現象——提出猜想——舉例驗證——總結歸納。教學中引導學生探究規律所采用的猜想、驗證、歸納等是一些相當重要的數學活動方式，需要學生有經歷和體驗的過程。對于小學生而言，運算定律或性質是否只能用不完全歸納法這一方式來教學呢？能否通過引導學生追求規律背后的本質內涵呢？筆者在教學人教版教材四年級下冊“連除簡便計算”一課時，有意改變以往規律教學從“猜想”到“驗證”為主線的教學模式，借助幾何直觀，引導學生從意義理解角度組織學生探索規律的本質內涵。

一、教學設計

1.解決問題引入，初步感知規律。

談話引入：同學們，數學與生活有著密切聯系，應用數學知識可以幫助我們解決生活中的很多問題，我們來看這樣一個問題——

呈現材料一：一共有4個小組，每個小組種了2棵樹苗。購買樹苗共花了48元，平均每棵樹苗多少元？

師：你會解決這個問題嗎？請試著做一做。

學生獨立完成后反饋交流，可能會出現兩種情況：

方法一：48÷4÷2=12÷2=6（元）或48÷2÷4=24÷4=6（元）。

方法二：48÷（4×2）=48÷8=6（元）或48÷（2×4）=48÷8=6（元）。

當學生說完兩個算式的解題思路后，師小結：同學們真厲害，用兩種不同的方法解決了同一個問題。一邊用48連續除以兩個數，一邊用48除以這兩個數的積，結果都等于6。因為兩個算式結果相等，所以我們就可以用等號把它們連起來。板書：48÷4÷2=48÷（4×2）或48÷2÷4=48÷（2×4）。

呈現材料二：小明爸爸花180元錢買了2盒禮酒，每盒里面有3瓶。問平均每瓶禮酒多少元？

師：把算式列出來（不必計算）。

學生獨立列式后，反饋：

一是：180÷2÷3或180÷3÷2。

二是：180÷（2×3）或180÷（3×2）。

質疑引思：同學們列出的兩個算式，一個用180連續除以兩個數，一個用180除以這兩個數的積。兩個算式相等嗎？為什么？

學生說理（一是從中都能解決同一個問題，二是從結果來判斷。）交流后，老師適時板書：180÷2÷3=180÷（2×3）或180÷3÷2=180÷（3×2）。

設計說明：本節內容從教材編寫來看是以解決問題為起點的，這與教材的編寫體系有關，因為在三年級下冊中學生已經學習過連除解決問題，此時用連除的實際問題引出顯得較為自然。同時，連除的問題在現實生活中還是比較多，呈現連除的數學問題情境，能為后面解釋算理提供一定的背景，便于學生以原有的經驗來解釋新問題。

2.研究算理展開，深入理解規律。

（1）“從式到圖”，初步理解式的意義。

①學生舉例。

師：剛才我們從解決問題中發現，一個數連續除以兩個數，與用這個數除以這兩個數的積是相等的。像這樣的式子，在一般的計算中會有嗎？請你試著寫出一個。

學生嘗試寫一組算式，反饋兩組，并請學生說明為什么相等？其他同桌交流。

②教師引疑。

師：那老師寫一組算式，它們相等嗎？

教師板書：100÷4÷6與100÷（4×6）。

學生憑有余數除法的經驗得到了兩個看似不一樣的結果，大多數學生會認為不相等。當需要研究兩個算式到底相等還是不相等時，學生會碰到困難，于是教師引入圖形進行分析。

師：假如老師用一個長方形來表示100，你能表示出100除以4再除以6的過程嗎？請你與同桌交流交流。

學生討論后，全班交流。

請學生說過程，老師用圖演示過程。

師：同學們從演示圖知道了100÷4÷6的意思，那么100÷（4×6）表示什么呢？

指名回答，老師用圖配合演示。

師：現在你覺得這兩個算式相等嗎？為什么？

指名回答。

小結：兩個算式都是把100平均分成24份，求每份是多少？所以是相等的。

回到呈現材料一、二的例子中，請學生想象思考：用圖來表示48÷4÷2的過程是怎樣的？用圖來表示48÷（4×2）這個算式的意思呢？兩個算式最終的意義一樣嗎？

同理讓學生同桌合作說說180÷2÷3與180÷（2×3）這兩組算式的意義，體會兩個算式相等的本質。

（2）總結規律，構建模型。

師：看來這里好像有規律的，你能用一句話來說說這個規律嗎？（一個數連續除以兩個數，等于用這個數除以這兩個數的積。）

師：你能用一個含有字母的式子表示這個規律嗎？試試看？

學生自由表述完畢后，教師指名回答，板書：a÷b÷c=a÷（b×c）。

師：這個字母式的左邊表示什么？右邊表示什么？這里的a可以表示任何數，b可以表示任何數嗎？c呢？

設計說明：通過幾何直觀手段，引導學生從除法“平均分”的意義入手，理解為什么“一個數連續除以兩個數，可以除以這兩個數乘積”的道理，為學生充分理解“連除性質”找到支點，從而比較自然地溝通知識間的聯系。

3.運用規律，深化理解。

（1）智慧闖關第一關：比比誰的眼睛亮。

400÷10÷4，下面哪幾個算式與它相等？

①400÷（10×4） ②400÷4÷10 ③400÷（10+4）

④400÷（4×10）

媒體動態呈現各個算式，每題3秒后隱去，請學生記錄序號即可。完成后先反饋結果，然后請說明理由。

（2）智慧闖關第二關：比比誰的算法巧。

280÷8÷5 336÷24

學生獨立計算后反饋交流。重點交流第二題，將典型的幾種方法呈現出來，如336÷6÷4或336÷3÷8等。說明理由后稍作延伸，是否可以變成336÷2÷3÷4呢？

請學生試著說明理由。

……

設計說明：以上兩個練習，一是體會連除性質的推廣，二是把“連除性質”的應用，安排在“除法運算”背景中，擴大了計算的背景，打破了純粹的技能訓練，把數學意識培養放到了更為重要的位置上。

二、兩點思考

1.從意義理解入手，探討連除性質有其特殊的需要。

作為一節規律探究課的教學，我們首先想到是否可以通過“猜想——驗證——歸納”的教學模式進行組織教學。然而經過思考我發現，雖然作為引導學生進行自主學習的一種方式，“猜想——驗證”有著其重要的價值，但對于四年級學生來說，本節內容的具體實踐卻存在著兩大障礙：一是在學生舉例驗證過程中，與加法、減法、乘法等不同的是，由于受所學知識的局限，當出現不能整除時，學生很難作出解釋；二是即使學生對a÷b÷c=a÷（b×c）這一規律作出驗證并認可，但由于是通過不完全歸納驗證得到的，無法推廣到對a÷b÷c=a÷c÷b的理解上。因此，我認為“猜想——驗證——歸納”作為探究“連除性質”的教學模式并不合適，需要尋找更為合適的學習方式，才能達成相應的目標。

2.借助幾何直觀，以圖形分解來理解算式意義，能夠幫助學生充分理解性質的本質內涵。

本節課的教學重點不應只是一種形式上的探究，更多地應把重心落在對“a÷b÷c與a÷（b×c）外在形式不同，但結果為什么會相等”的本質意義的理解上。于是尋找理解規律的支點，幫助學生建構完整的數學認識，在教學中顯得尤為重要。經過思考，筆者發現學生對“除法的認識”是深刻理解和把握“連除性質”的支點。“一個數連續除以兩個數（或幾個數），可以等于一個數除以兩個數（或幾個數）的乘積”，它的本質是“平均分”。對一個數不管是連續地平均分，還是一次性平均分，只要平均分成的份數相同，結果就不會改變。而在課堂上，通過圖形分解的過程充分說明了連除性質的本質意義，從而更好地為學生建構起連除性質的思維表象。這樣的一個過程，幾何直觀的價值也得以充分體現，這正是新課程理念下的課堂教學所追求的。

◇責任編輯：趙關榮◇