展望教育：一道小題目的啟發(fā)

幾個(gè)星期以前，有一位學(xué)生問了我一道能力提高題，這是一道“旋轉(zhuǎn)”范疇的題目：

已知在等腰直角三角形中，，AB=AC，三角形中有一點(diǎn)P，且PC=2，PA=4，PB=6，求.

這個(gè)題目的數(shù)據(jù)和條件都設(shè)置得非常巧妙，是初中數(shù)學(xué)“旋轉(zhuǎn)”部分內(nèi)容中的一個(gè)比較經(jīng)典的題目，旋轉(zhuǎn)的方法在解題的過(guò)程中起到了至關(guān)重要的重要，下面給出這個(gè)題目的求解方法。

解：如圖：對(duì)作旋轉(zhuǎn)，使邊AC與邊AB互相重合，則有，且AP’=AP=4，。

且由于，，

則，。

運(yùn)用勾股定理，可以計(jì)算：。

由于，所以，所以是直角三角形，因此

。

解答完畢。

從上面的解答過(guò)程可以看到，這個(gè)題目考查了等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，是一道比較有趣的題目。相應(yīng)的我們還有關(guān)于等邊三角形的相類似的題目。

例：已知在等邊三角形中有一點(diǎn)P，且PC=3，PA=4，PB=5，求.

上面這個(gè)題目同樣的可以應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――勾股定理”這一步驟得到解答。

這個(gè)時(shí)候我自然地想到，如果將第一題目中的各已知線段的長(zhǎng)度稍加改變，是否依然可以解出？或者說(shuō)任意地在中取一點(diǎn)P，并且已各PA，PB，PC的長(zhǎng)度，是否可以確定這個(gè)三角形中的角？是否“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――勾股定理”這一步驟總是有效的？

我們可以試試：如圖：對(duì)于等腰直角三角形，PA=a，PB=c，PC=b，只有當(dāng)，時(shí)，才能就用應(yīng)用勾股定理得到的大小。同樣的對(duì)于等邊三角形，只有當(dāng)時(shí)才能應(yīng)用勾股定理得到的大小。整理一下，得到“定理1 對(duì)于等腰直角三角形，只有當(dāng)，時(shí)，才能就用應(yīng)用勾股定理得到的大小。同樣的對(duì)于等邊三角形，只有當(dāng)時(shí)才能應(yīng)用勾股定理得到的大小。

很自然的，我們會(huì)問，如果上面的a，b，c 不滿足上述定理中的條件，是否依然可以得到的大小？答案是肯定的，但是前提是要用到高中數(shù)學(xué)中的余弦定理。

余弦定理：中，已知邊a，b 及其夾角C，則邊。

若已知三邊長(zhǎng)a，b，c，則有：（請(qǐng)補(bǔ)充其他四條。）

定理2 如果在等腰直角三角形中有一點(diǎn)P，且PA=a，PB=c，PC=b，則總可以求出的大小。

證明：我們可以應(yīng)用上述的“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――勾股定理”步驟，但是其中的勾股定理要換作余弦定理，即可以得到，則，查表可以得到的值，于是由，可以得到的大小。

于是我們又可以得到另一個(gè)關(guān)于等邊三角形的結(jié)論：

定理3 如果在等邊三角形中有一點(diǎn)P，且PA=a，PB=c，PC=b，則總可以根據(jù)“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟求出的大小。

我們要大膽地問一句，對(duì)一般的三角形，是否也可以用“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟來(lái)求得的大小，從上面的過(guò)程中，我們知道為了能使用“旋轉(zhuǎn)”，要保證至少是等腰三角形，而且我們還要得到一個(gè)進(jìn)一步的結(jié)論：

定理4 如果在等腰三角形中有一點(diǎn)P，且PA=a，PB=c，PC=b，且已知頂角的大小，則總可以根據(jù)“旋轉(zhuǎn)――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟求出的大小，而且可以得到的各邊長(zhǎng)。

證明：這只是再應(yīng)用一次余弦定理而已，請(qǐng)補(bǔ)充完整。

可以再進(jìn)一步地作出猜想，如果在一般的三角形中，已經(jīng)其中一個(gè)角已經(jīng)，三角形中一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離為PA=a，PB=c，PC=b，則可以計(jì)算出該三角形的各個(gè)角大小及各邊長(zhǎng)。這是正弦定理和余弦定理的結(jié)合應(yīng)用。

定理5 如果在一般的三角形中，已經(jīng)其中一個(gè)角已經(jīng)，三角形中一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離為PA=a，PB=c，PC=b，則可以計(jì)算出該三角形的各個(gè)角大小及各邊長(zhǎng)。（證明略）

最后一個(gè)結(jié)論是比較廣泛的結(jié)論，從特殊的等腰等邊三角形獲得的推廣，這從另一個(gè)方面體現(xiàn)了三角形的一個(gè)鮮為人知的性質(zhì)。

同時(shí)，從另一個(gè)方面來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)中一些無(wú)法解決的問題，可以應(yīng)用高中數(shù)學(xué)得到很直接的解答，我們希望通過(guò)這個(gè)例子，向愛好數(shù)學(xué)的初中的學(xué)生展示高中數(shù)學(xué)的一些魅力。

我們從一道題目中得到了一個(gè)令人有些意想不到的結(jié)果，獲得了一些令人振奮的結(jié)論，所以也希望以此來(lái)傳達(dá)一種開拓思路，樂于思考的精神。我們只有從已知的知識(shí)中大膽探索一些以前沒有想過(guò)的問題，才能在對(duì)于知識(shí)的理解上獲得進(jìn)一步的提高，有句話說(shuō)“沒有做不到，只有想不到”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要敢于去想，大膽去想，當(dāng)然，有一些問題我們未必能夠在現(xiàn)有的知識(shí)水平上得到解決，但是隨著學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)，將會(huì)在將來(lái)成功地解決那些以前無(wú)法解決的問題，所以我們希望學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候能夠有一種展望的精神，就是不單單能解決目前的課本的，練習(xí)冊(cè)中的問題，還能夠自己去尋找一些新的問題，一些可能解決得了的，一些可能解決不了的，帶著這些解決不了的問題，學(xué)生將會(huì)獲得更高的學(xué)習(xí)熱情，這會(huì)更大地刺激他們的學(xué)習(xí)神經(jīng)，進(jìn)而產(chǎn)生巨大的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

總之就是，大膽思考，挖掘問題，敢于展望，開拓進(jìn)取。