解析幾何中的參數觀點

摘 要：解析幾何中的參數觀點與參數方法十分重要且應用廣泛，像利用參數方程就行動點的軌跡問題的解答、變量的范圍及最值問題、定點和定值問題等等。淺談解析幾何中參數觀點的相關內容，并結合具體例子進行說明。

關鍵詞：解析幾何；參數觀點；參數方法；研究

在直接選擇變量x，y之間的關系處在十分困難的境地時，適當地引入一個中間變量，也就是我們常說的參數t，并建立起變量x，y和參數t的直接關系，從而間接地得到x與y之間的關系，這種數學思想就是我們所說的參數觀點。而通過引入參數，建立參數方程對數學問題求解的方法，顧名思義就成為參數方法。眾所周知，在解析幾何中，參數觀點與參數方法的重要性與廣泛性。像利用參數方程就行動點的軌跡問題的解答、變量的范圍及最值問題、定點和定值問題等等。本文就淺談解析幾何中參數觀點的相關內容，并結合具體例子進行說明。

一、參數觀點相關概念與重要意義

在直角坐標系下，坐標平面上的點與有序實數對之間存在著一一對應的關系，因此，點的位置的移動與確定和坐標的移動與確定是一致的。那么在平面解析幾何中，當點的變動形成一條曲線的時候，根據點的變動規律就可以得到它的橫坐標x與縱坐標y之間的關系，也就是關于x，y的一個方程。曲線與方程之間也有了所謂的對應關系。而在直接選擇變量x，y之間的關系處在十分困難的境地時，適當地引入一個中間變量參數t，并建立起變量x，y和參數t的直接關系，間接地得到x與y之間的關系，這種數學思想就是我們所說的參數觀點。

一般來講，在一個平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是變量t的函數x=f （t）y=g （t）（1），x，y分別是參數t的函數，且對于t的每一個允許值，由方程組（1）所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程（1）就叫做這條曲線的參數方程，而t為參變數，成為聯系x，y之間的橋梁。而解析幾何中的參數觀點就是運用代數方法研究幾何現象，從而化繁為簡地解答難題。

二、參數觀點確立和應用的教學過程

1.“直線”的教學——參數觀點的滲透與形成時期

參數觀點的形成不是一蹴而就的，我們要利用課程安排的順序，對其一點點進行滲透，為學生的參數觀點的形成做好鋪墊。像學習“直線”時，我們要讓學生理解運動的點的概念，這是參數的另一種表現形式，利于學生信息的接收。

首先，運動的點。曲線作為點的運動的軌跡，那么在曲線上的點我們就可以看成在某種規律、條件制約下的運動的點。比如說，直線x-2y=0上的點，我們表示為（2t，t），那么t的取值問題就可以這樣來看。當t為某個特定值的時候，那么點為直線上確定的點，這樣的概念表達，學生雖然沒接觸到參數的實際概念，但它們的意義是相同的。

例1.若一直線被直線4x+y+b=0和3x-5y-b=0（b≠0）截得的線段的中點恰好為坐標原點，那么這條直線的方程是什么？

其次，運動的線。一般而言，兩個獨立條件確定平面上一條直線，而當只有一個約束條件時，直線在條件的約束下運動，形成某種條件的曲線系，帶有一個參變量的直線方程，就可以看成直線系方程。那么題目解答時就容易變得簡化。

例2.求過點（-2，1），且與直線l：x-2y+3=0平行的直線方程。

通過直線系觀點的樹立，帶著結果找原因，就可以如下解答：

因為l1∥l2，所以可令l1：x-2y+c=0，而l1過點（-2，1），所以-2-2×1+c=0，所以c=4，因此直線l1方程就為x-2y+4=0。

2.“圓錐曲線”的學習——參數觀點的理解與應用過程

3.“參數方程”的學習——參數觀點的精確化和靈活性形成

“參數方程”的學習主要是兩個方面：①參數方程與普通方程互化的等價性；②根據問題的具體條件，如物理意義和幾何性質，進行恰當的參數選擇。

例4.設0

解：（重點放在對幾何條件的充分挖掘）

設l與m交于點P（x0，y0），它們與x軸的傾角分別是θ1，θ2，

l：x=x0+tcosθ1y=y0+tsinθ1（t為參數） （1）

m：x=x0+tcosθ2y=y0+tsinθ2（t為參數） （2）

將（1）代入y2=x得t2sin2θ1+t（2ysinθ1-cosθ1）+（y02-x0）=0

因為A1、A2、B1、B2四點共圓，由圓冪定理得

PA1·PA2=PB1·PB2

所以sin2θ1=sin2θ2，故θ1=θ2或θ1=π-θ2

若θ1=θ2，則l∥m，無交點，故舍去。

若θ1=π-θ2，故過定點A（a，0）和B（b，0）的直線方程為

三、參數選取需遵循的原則和幾種常見曲線的參數方程

1.參數選取需要遵循的原則

一般而言，參數選取時要遵循以下原則。首先，曲線上的每一點坐標（x，y）都可由參數取某一值唯一地確定出來。其次，參數與x，y間的相互關系比較明顯，能較容易地列出方程。參數的選擇要根據題目的具體條件的不同來考慮，可以作為時間，也可以作為線段的長度、方位角、旋轉角、動直線的斜率、截距和動點的坐標等等。另外有時候也可以根據題目，列出兩個參數，再設法消除參數得到普通方程，但基于難度考慮，盡量少設參數。而在消除參數中，要根據其特點來選擇，并充分考慮兩種方程的變量的取值一致性。

2.幾種常見曲線的參數方程

（1）一般曲線的參數方程x=f （t）y=g （t）（t為參數），x，y分別是參數t的函數。

（3）圓的參數方程：（x-x0）2-（y-y0）2=r2的參數方程為

x=x0+tcosαy=y0+tsinα（α為參數，表示動半徑的旋轉角。）

（4）橢圓的參數方程：b2（x-x0）2+a2（y-y0）2=a2b2的參數方程為x=x0+acosθy=y0+tsinθ（θ為參數，表示動點P（x，y）的離心角）。

（5）雙曲線的參數方程：b2（x-x0）2+a2（y-y0）2=a2b2的參數方程為x=x0+asecθy=y0+ttanθ（θ為參數，表示雙曲線上點P（x，y）的離心角）。

（6）拋物線的參數方程：（y-y0）2=2p（x-x0）的參數方程為

x=x0+2pt2y=y0+2pt（θ為參數，表示動點P（x，y）與頂點連線斜率的倒數）。

而在參數方程中參數范圍的確定上一般有以下幾種方法：第一，判別式的利用；第二，曲線上點的坐標范圍的利用；第三，函數思想的利用；第四，數形結合法的利用；第五，幾何性質法的利用。解題時要根據各個題目的要求、具備的條件和符合的意義進行選擇，總之樹立參數觀點并學習以上方法。

參數作為解析幾何中最為活躍的元素，對簡化解析幾何中問題的難度和計算方式有著很大的幫助，因此具備參數觀點和掌握一些常見的設參和消參的途徑是極其重要的。但是參數觀點的建立卻不是可以簡化學習的過程，作為一類綜合性較強、變量很多、涉及知識面較廣的學習內容，直接關系著學生的邏輯能力的培養和創新能力、解決問題能力的提升，因此教師一定要給予極大的重視以及細心、耐心的指導，讓學生用心領悟，從而有效提升解析幾何的教學與學習效率。相信學生有效具備了參數觀點，無異于開啟了解決解析幾何問題的解決之門。

參考文獻：

[1]雷智薈.參數思想在解析幾何中的應用研究[J].科技信息，2013（19）.

[2]李紅林.確定解析幾何問題中的參數取值范圍的策略[J].考試周刊，2009（33）.

[3]吳俊枝.確定參數取值范圍的高考題例析[J].中學生數理化：高中版·學研版，2011（05）.

（作者單位 浙江省天臺縣平橋第二中學）

編輯 武浩然