例談探索性問題

摘 要：探索性問題是相對于有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的，該類問題的知識覆蓋面大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度.旨在從例題中歸納出探索性問題的各種題型，總結出解決探索性問題的一些方法，目的在于在這方面做個初步的嘗試，以引起大家對探索性問題的關注和探討.

關鍵詞：探索性問題；分析歸納；類比聯想

探索性問題又稱開放性問題，它是相對于傳統的給出明確的條件與結論的封閉問題而言的。探索性問題沒有明顯的結論，要求學生通過觀察、實驗、聯想、歸納、分析、類比比較等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例，從而得到結論.這類問題形式新穎，題目設計立意于對發散思維能力的培養與考查，能夠有效地檢測與區分學生的數學素質與創新思維能力.就這一點來說，它符合新課標理念：倡導積極主動、勇于探索的學習方式；提高學生的數學思維能力，所以我們有理由相信在今后的高考數學試卷中對這一問題依然會有所體現.

探索性問題可以探索條件、結論和方法，基本題型可分為存在型、歸納猜想型、更換條件型、一題多解型.

一、探索條件

當一個問題給出了結論，需要探索條件時，常用分析法.

例1.命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐.

簡析：要使三棱錐為正三棱錐，須滿足命題A所要求的條件，即頂點在底面的射影為底面的中心，所以可以填上以下條件：

①各側棱長相等；

②各側棱與底面所成的角相等；

③底面與各側面所成的二面角相等.

二、探索結論

1.直接探索結論

這類問題問題的結論一般都不唯一，解決這類問題需要從多方面考慮，從不同角度分析問題所給的已知條件，尋求正確結論.

例2.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外兩條不同直線，給出四個論斷：

①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題 .

簡析：共可寫出4個命題：

（1）①②③？圯④

（2）①②④？圯③

（3）①③④？圯②

（4）②③④？圯①

不難證明，其中（3）和（4）是正確的.

2.存在性結論探索

解決這類問題的思路是：先假定“存在”，若經推證無矛盾，則“存在”成立，若推證出矛盾，則結論為“不存在”.分析法或反證法是解決這類問題采用的方法.

分析：解本題通常可先求出直線m的方程，然后與雙曲線聯立，化為一元二次方程，利用判別式作出最后的結論判斷.

解：假設直線m存在

若直線m的斜率不存在時，有x=1，此時直線m與雙曲線相切，與題設交于兩點不合.

設直線m的方程為：y-1=k（x-1），Q1，Q2兩點坐標為（x1，y1），（x2，y2），由Q1，Q2在雙曲線上及B（1，1）為Q1Q2的中點可得：

因此直線m的方程為y=2x-1

顯然Δ<0，此方程無實數根，這與直線m與雙曲線交于Q1，Q2兩點矛盾，故這樣的直線m不存在.

3.猜想歸納探索結論

解決這類問題的思路是：先研究最簡單、最特殊的情況，得出結論，再加以證明.與自然數有關的問題，可以考慮數學歸納法.

解：先取特殊值進行探測：

取P（a，0），則M（a，0），N（a，0），從而OM·ON=a2

于是猜想OM·ON=a2定值，證明如下：

設P（acosθ，bsinθ），其中sinθ≠1，且設M（x1，0），N（x2，0）

4.更換條件探索結論

解決這類問題的思路是：注意用類比的方法分析問題，研究當條件變化時，問題的本質有哪些相同，有哪些變化，從中尋求解題方向.

例5.在平面幾何中有命題：正三角形內任意一點到三邊距離之和是一個定值，那么在正四面體中類似的命題是什么，是否正確？證明你的結論.

分析：類似的命題：正四面體內任意一點到四個面距離之和是一個定值.平面幾何中用面積法證明其正確性，即將此點與三角形三個頂點連接，所得三個小三角形面積之和等于正三角形的面積，由此類比可得到啟發，運用體積法證明立體幾何中這個類似的命題（證略）.

三、探索方法

主要蘊含于“一題多解”問題中，一般思路：從不同角度、不同的思想方法去推敲方向，從而得出不同的解法.

證明一（比較法）

探索性問題是從高層次上考查學生的創造性思維能力的一種題型，正確運用數學思想方法是解決這類問題的橋梁和向導.在這類問題的教學中，教師不但要善于提出具有挑戰性的問題，增加思考的密度，激發學生的求知欲望，而且也要鼓勵學生勤于提出深層次的問題，以拓寬學生的開放性思維，充分發揮學生的主動性和創造性.

參考文獻：

[1]趙春祥.立體幾何填空題中的開放型問題評析.中學生理科月刊，2003（09）.

[2]張清芳，袁明豪.例談探索性問題的解題策略.數學通訊，2003（10）.

[3]陳明.探究性問題的求解策略.數學通訊，2001（17）.

（作者單位 江蘇省南京市高淳區淳輝高級中學）

編輯 薄躍華