平面向量數(shù)量積中的易錯(cuò)問題

平面向量是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的知識，連同它的運(yùn)算法則、性質(zhì)，都來源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐，屬于教材新增添的內(nèi)容．“欲善工其事，必先利其器”，對于本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們一定要抓住定義，理清概念，只有真正理解了向量中的概念，才能熟練的應(yīng)用．否則在做題時(shí)就容易出錯(cuò)，下面列舉幾種平面向量數(shù)量積中的易錯(cuò)問題：

一、夾角大小的判斷

例1、在邊長都為1的△ABC中，已知，，求的值．

錯(cuò)解：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，

∴與，與，與的夾角都是，

∴===

錯(cuò)解原因：夾角的定義為：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量， =，則

∠AOB=（≤≤），則叫與的夾角．通過定義可以看出，在夾角的定義中，要求和必須是共起點(diǎn)的，這是定義中的一個(gè)關(guān)鍵，按照這個(gè)定義，和的夾角是嗎？顯然和的夾角是，同理，與，與的夾角也都是．所以===

二、如何判定兩向量夾角是銳角或鈍角

例2、已知， =3，和的夾角為，求當(dāng)向量與的夾角為銳角時(shí)，的取值范圍．

錯(cuò)解：設(shè)向量與的夾角為，∵ 兩向量的夾角為銳角，

∴ ＞0，∴（）（）＞0，

即＞0，∴＞0，

∴＞ 或 ＜，

即

錯(cuò)解原因：由于≤，所以-1≤≤1．當(dāng)＞0時(shí)，0＜≤1，包括=1的情況，即夾角有可能為，此時(shí)不為銳角，所以我們應(yīng)該從上述的的取值范圍中再去掉與共線同向時(shí)的的值就可以了．

當(dāng)與共線同向時(shí)，設(shè)=t（），（t＞0）

∴，∴

∴與的夾角為銳角時(shí)的

三、實(shí)數(shù)中的結(jié)論不要拿到向量中來應(yīng)用

例3、已知，是兩個(gè)非零向量，證明當(dāng)與（）垂直時(shí)，的模取到最小值．

錯(cuò)解：當(dāng)與垂直時(shí)有（）=0，即+=0，∴，

= ===

= ==0

∵的最小值為0，∴當(dāng)，即與垂直時(shí)，的模取到最小值．

錯(cuò)解原因：結(jié)論并不正確，只有在和共線時(shí)才成立，所以不能用這個(gè)結(jié)論．在向量這一章中，不能把許多實(shí)數(shù)的結(jié)論想當(dāng)然拿過來用，實(shí)數(shù)中的好多結(jié)論在向量中是不成立的．如：⑴若，則或；⑵若，且，則；

⑶若，則；⑷；

⑸；⑹若，則

等都是錯(cuò)誤的．在應(yīng)用課本上沒有的結(jié)論時(shí)，我們必須慎重，必須給出嚴(yán)格的證明后才可以應(yīng)用．本題的正確解法應(yīng)把看做是的二次函數(shù)：

==

∴在對稱軸，即時(shí)，模取最小值．此時(shí)，恰好

即當(dāng)與垂直時(shí)，的模取最小值．

通過講解，你掌握了多少呢？下面我們做幾個(gè)練習(xí)題來鞏固一下吧：

練習(xí)：

1、已知，，且與的夾角是銳角，則的取值范圍_____．

2、在△ABC中，，，，若，試判斷△ABC的形狀．

3、已知△ABC中，a=5，b=8，，求．

4、已知，，，是否存在常數(shù)，使和的夾角是銳角，若存在求出的取值范圍，若不存在說明理由．

（答案：1、＞；2、直角三角形；3、-20；4、．）