淺談小學數學教學中的數形結合思想

【摘要】數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合。數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。數形結合貫穿于整個數學教學，在小學教學中就應注重數形結合思想的滲透及數形互通能力的培養。

【關鍵詞】以形助數；以數輔形；數形結合；數形互通

數形結合思想是一種重要的數學思想方法，就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀，是優化解題過程的重要途徑之一。數形結合思想在小學數學中有廣泛的應用。

一、數形結合思想及其形成途徑

（一）數形結合的表現形式。數形結合方法的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數”指數學術、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現數學信息的方式。

以“形”助“數”。“形”的廣義性以及小學生數學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數學知識學習需要“形”的支撐。數學概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。數學性質的探索依賴“形”的操作。數學性質是關于規律性的知識，應該讓學生自主探索發現，而形的操作有助于發現規律。數學規則的形成需要“形”作材料。數學規則在小學主要是有關演算過程的具體實施方法。規則學習是學生技能形成的先導。讓學生明確規則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現過程性目標。而數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。解題思路的獲得常用“形”來幫助。借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化。因為將數量信息反映在圖形上，能直觀表現數量間關系，從而獲得解題思路。

以“數”輔“形”，“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力，使兒童更準確地把握“形”。對圖形的認識要用數學語言的描述加以深化。幾何圖形的周長、面積、體積計算公式的歸納都是兒童對形體直觀知覺的深化。對幾何圖形性質的判斷有時需要通過計算才能獲得正確結論。

（二）數形結合思想的形成途徑。數形結合在方法論層面，只是一種具有普遍性和可操作性的方式，只有當它成為兒童解決數學問題的自覺意識時，才上升為“數學思想”，才成為“方法”的理論基礎。數形結合思想形成的前提是讓學生經歷應用的歷練，而教師提供時間與空間是“方法”提升為“思想”的保證。教師引領，在數學思想形成的過程中，教師的榜樣作用至關重要。教師的引領既包括數形結合方法的示范，也包括教給學生技能和學生創造運用數形結合思想的機會。教師示范不僅要展現令人信服的結論，更重要的是數形結合思想如何體現在解決問題全過程中，包括：①數形結合的思路是如何想到的；②方法是如何運用的；③在比較與反思中體會其優勢。群體互動，數學思想的形成離不開群體間的交往，因為個體的數學成長需要團體氛圍，需要在與他人交往中獲得肯定。

二、數形結合貫穿整個小學數學教學

數學是思維的階梯。縱觀整個小學數學教材，從一年級到六年級，無不充分體現數與形的有機結合，幫助學生從直觀到抽象，逐步建立起整個數學知識體系，培養學生的思維能力。

通過數與物（形）的對應關系，初步建立起數的基本概念，認識數，學習數的加減法；一年級通過具體的物（形）幫助學生建立起初步的比較長短、多少、高矮等較為抽象的數學概念；通過圖形的認識與拼組，在培養學生空間觀念的同時，也幫助學生把數與形聯系起來，初步培養學生的數形結合思想。在二年級乘法、除法的教學中，通過圖片探知求幾個相同加數的和可以用乘法來算，并體會用乘法比較簡便，通過數形結合將圖片分一分，理解除法的意義并觀察發現計算除法時，可利用乘法口訣來求商；在三年級分數的初步認識中，通過實物平均分進而轉化為折一折數形結合方式及用抽象線段表示分數理解分數的涵義；比多少的應用題，通過數與物（形）的對應關系，幫助學生建立起同樣多、多的部分、少的部分、大的數、小的數等較抽象的數學概念；倍數應用題，教材首先通過數物（形）的結合，幫助學生初步建立倍數的意義。在學生初步建立起倍數的概念（意義）的基礎上，逐步過渡到數形結合，即畫線段圖，幫助學習理解掌握倍數的意義。在這里，教材從最初的最直觀的數物（形）結合，逐步過渡到由圖形代替物體-——數形結合，初步建立起數學語言——數與形，使學生逐步從最直接的感知發展到較為抽象的數學知識；在相遇問題、和差問題、工程問題、分數應用題、比例應用題、列方程應用題等許多解決問題的教學中，無不充分地運用數形結合，把抽象的數量關系，通過畫線段圖﹑集合圖﹑長方形面積圖﹑列表格等方式，數形結合，呈現較為具體直觀的數學符號，使較為復雜的復雜數量關系簡單明了，有利于分析題中各數量之間的關系，迅速找出解決問題，提高學生分析問題和解決問題的能力；在解決雞兔同籠的問題時，運用數形結合，可以使極為抽象的假設法變得直觀形象。

三、數形結合幫助小學生建立起初步幾何知識體系，發展空間觀念

在一年級圖形的組拼中，學生通過數圖形、玩積木，用多少不等或相等的積木不斷堆砌出不同的形狀，體驗數與形的結合，感知空間圖形，數形互通，進而抽象出一排有幾個、一個有幾排、有幾層等空間觀念，為長方形的面積公式推導、長方體的體積公式推導等奠基基礎。在三年級下冊下冊長方形面積公式推導中，通過讓學生用1平方厘米的小正方形擺放長方形的面積，擺出長有幾厘米就能擺幾個，寬有幾厘米就能擺幾排，抽象出長方形的面積就是長與寬的乘積。在長方體體積公式推導中，也同樣運用數形結合抽象概括出長方體的體積=長×寬×高。

四、數形結合幫助學生建立起初步的分類與集合思想

在三年級上冊多邊形教學中，運用集合圖數形結合幫助學生理解各種四邊形之間的聯系與區別直觀清楚地理解各類四邊形的關系，長方形及正方形是特殊的平行四邊形；在四年級下冊三角形按角分類中，運用集合圖、數形結合，讓學生充分理解銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形這三類三角形之間的關系。

五、運用數形結合，幫助學生理解較抽象的數學、數量關系，培養學生的邏輯思維能力。

現行的人教版數學教材中，引入了大量的以前認為是奧數的，但在現實生活中卻經常應用的數學內容。在教學中，如果不采用數形結合，把抽象的數學概念形象直觀化，學生根本不能理解、掌握和運用。如三年級下冊的重疊問題，教學中，引導學生數出參加語文組的有8人，參加數學組的有9人，但這兩個小組沒有8+9=17人，這是為什么呢？引導學生通過畫韋恩圖，讓學生充分明白：有3個重復的，8+9多計算了一次，需要減去，兩個小組實際只有8+9—3=14（人）。在植樹問題中，只有通過畫圖，讓學生充分理解植樹棵樹與間隔數之間的關系。二年級上冊與三年級上冊的排列組合中，如果用高中數學中什么是排列、什么是組合來教學生，學生只能是“坐飛機”，云里霧里，不知所云，而采用數形結合——連線的方法，既能做到不重不漏，又不會把排列組合的知識強加給學生，還讓學生運用起來得心應手。在策略問題中，運用數學結合，畫流程圖操作，讓繁瑣的語言敘述直觀化，簡單明了，化難為易。