馬爾可夫鏈在股市投資中的應用

摘 要 本文建立了馬氏鏈在股票投資中的隨機數學模型，通過實例檢驗，證明了此模型的可行性和實用性。

關鍵詞 預測 股票投資 轉移矩陣 馬爾可夫模型

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

Application of Markov Chain in the Stock Market Investment

LUO Yufeng[1]， ZHANG Yuanju[2]

（[1] Continuing Education， Zhejiang Wanli University， Ningbo， Zhejiang 315100；

[2] Basic Department of Ningbo Technical College， Ningbo， Zhejiang 315000）

Abstract This paper established a random mathematics model of Markov chain in stock investment， through an example test， proved the feasibility and practicality of this model.

Key words forecast； stock investment； transfer matrix； Markov model

馬爾可夫鏈是指時間連續（或離散）、狀態可列、時間齊次的馬爾可夫過程。它的理論廣泛應用在教育領域、醫學領域、地震災害領域、遺傳領域、供應鏈領域、經濟領域等等。馬氏性是指在已知“現在”的條件下，“將來”與“過去”是無關的。本文主要利用馬氏鏈預測理論，通過轉移矩陣的建立和馬氏性的檢驗來構建馬爾可夫模型，從而得出股票投資的馬爾可夫決策。

1 馬爾可夫模型的建立

在連續兩個時間段（天、周、旬、月）內，根據以往股票價格，計算出前一個時段股價處于區間，后一個時段股價處于區間的比率 （， = 1，2，…，），即第一時段股價處于區間，第二時段股價處于區間的概率。有一步轉移概率矩陣 = []。顯然，步轉移概率矩陣

= 。 （1）

記 = （，，…，）為第個時間段股價的概率分布向量，表示第個時段股價處于第（ =1，2，…， ）區間，由全概率公式有：

（2）

根據（1）式有：

若給定初始條件向量 = （，，…，），則個時段后的股票價格預測的馬爾可夫過程模型為：

（3）

2 股票投資的馬爾可夫決策

根據遍歷性，本文假設股價從狀態出發在有限時間間隔以后以概率1到達狀態，記為股價從狀態出發后首次到達狀態的平均時間，則

= 1 + （，，） （4）

根據式（4）可列線性方程組：

（5）

現在假設投資者在狀態時買入，在狀態時賣出的收益率為：

= 。

收盤價格均值等于一定時間內（如一個星期）處于該狀態的收盤價總和除以處于該狀態的天數。顯然有，收益率矩陣 = （）。本文假設投資者如果在狀態時刻買入了股票，則他持股多長時間以后賣出能獲得最大的平均收益為

（）= ·（） （6）

為狀態買入股票天后賣出的平均期望收益，則問題等價于求，使

（）= ·（） （7）

為了探尋股票的最佳穩定投資策略，它位于第個時刻所決定的方式依賴于該時刻的狀態，且是確定的，（）指的是折扣系數（0<（）<1），（）只和有關。對任意穩定投資策略與折扣因素（·），（，）表示的是初始狀態為 = ，策略為，系統從 = 0開始到 = 所得到的期望總折扣報酬，則：

（，）= （）（） + （，） （8）

（，）= （）（） + （，）， ≥0

（9）

其中（，0） = 0， = = ，

我們的目的是找一個最佳穩定策略 = ，使（，）取最大值，即

（，） = （，） （10）

然后通過計算最佳期望報酬

= （，） （11）

確定最佳策略。

3 模型分析

根據寧波地區股市價格，本文把股票的價格分為，，…，個區間。（ = 1，2，…）為時刻股票價格所位于的區間，利用統計量來檢驗，檢驗其是否具有馬氏性，令 = 且 = 。

顯然， 當較大時， = 2| |服從自由度為（）2的分布。可知，（（）2）。若>（（）2）則認為符合馬氏性檢驗，否則認為該過程不具有馬氏性。本文假設股市的運行不受任何外在因素的操縱，只受客觀因素影響。

選取寧波銀行3月1日到3月23日23天的收盤價作為分析所用的原數據，如表1所示：

表1 寧波銀行2011年3月1日到4月1日23個交易日收盤價格的資料

以表1為例，應用馬爾可夫鏈對股價進行預測分析，在這里單位以天來計算。表中的數據劃分成4個價格區間，得到的區間狀態為：（12.85以下），（12.85～13.15），（13.15～13.45），（13.45以上）。那么落在各位區間里的頻數分別是3、7、7、6。顯然，得到各狀態間的轉移概率和轉移概率矩陣如表2：

表2 各狀態之間一步轉移后的頻數

轉移矩陣為

由表1，我們得到第23日的收盤價格是13.30（位于K狀態），因此，若初始狀態向量為 = （0，0，1，0），則根據馬氏性預測得到第24、25日的收盤價格狀態向量分別為 （1） = （0） = （0，0.333，0.333，0.333）， （2） = （1） = （0.095，0.206，0.365，0.333）。實際證明，這兩日的收盤價格位于狀態的可能性最大，與實際相符。

當n很大時，若狀態轉移概率不變，則狀態向量趨于一個穩定值，且其與初始狀態無關，有：

解得的數值有穩定狀態下計算出的結果與遞推公式的推導是一致的。

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