立體幾何教學中學生幾種意識的培養

立體幾何的教學目標是培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力，因此要學好立體幾何應注重培養學生的以下幾種意識。

一、語言規范意識

數學語言通常分為文字、符號和圖形三種語言，在立幾教學中要注重數學語言的教學。

1.在立幾教學中要規范三種語言

學生在表達立體幾何問題時，常常在語言表達上不規范，用文字語言表達時不夠嚴密，如過點A作AE⊥BC，這句話就不嚴密，因為過空間一點與一直線垂直的直線有無數條，應寫成過點A作AE⊥BC交BC于E，即過……作……交于……。因此，在立幾教學中應注意這種書寫規范性的培養。

用符合語言表述立體幾何問題時，應注意符號的準確性。如用集合符號∈、∩、等表述立幾問題時，往往應用不正確。因此，在教學過程中應注意符號語言準確性的培養。

在立幾中，準確作圖有助于解題思路的發現及最終解決，有的學生對作圖沒有按畫圖規則作圖，這樣作出圖形往往會給思考問題會造成錯覺。因此，在教學過程中，教師在畫圖時，要講清圖形怎樣畫，更要講清為什么這樣畫，培養學生正確做圖的能力。

2.在立幾教學中培養學生三種語言間的互譯能力

數學語言是數學思維的載體。數學文字、符號、圖形語言雖然形式各異，但它們在描述一個定理時本質屬性是一致的，因此它們之間可以互譯，重視和加強三種數學語言，是學好立幾的關鍵。

例1：對于直線m，n和平面α、β，α⊥β的一個充分條件是（ ）

分析：本題中涉及的基本線、面關系都是用符合語言表述的，需作適當的語言翻譯，弄清題意，才能作出正確的判斷。對于A，翻譯成文字語言是：兩個平面分別于兩條垂直的直線中的一條，這兩個平面垂直。這顯然是一個假命題，對于B。翻譯成圖形語言可以如圖1所示，由此即可作判斷：α與β不一定垂直，對于C，用符合語言推理是：

二、類比意識

立體幾何是平面幾何的延伸，立幾與平幾既有聯系又有區別，通過平幾與立幾的類比，有助于學好立幾。

1.性質類比

立體幾何與平面幾何有緊密的內在聯系。在立體幾何里，平面幾何的定義、公理、定理等，對于同一平面內的圖形仍然成立，但對于非平面圖形一些則不能成立。例如：過直線上一點能且只有引該直線的一條垂直在平面內是成立的，但在空間就不成立。過直線外一點能且只能引該直線的一條平行線，在平面內和空間都成立。因此，在教學中，引導學生進行類比，區別異同，從而建立清晰的空間概念，正確掌握空間圖形的性質。

2.解題方法類比

立體幾何中有些問題的解題方法與平面幾何中的解題方法非常相似。

例2.過△ABC內一點P，分別引三條平行各邊的直線，這些直線分△ABC為六個部分，其中三個角形的面積依次為S1，S2，S3，如圖2，求△ABC的面積S。

例2應用了相似比和等比定理，方法相似。很多立體幾何問題，都可以運用這種類比的方法解決。

三、轉化意識

轉化是學好立幾的關鍵之一，在教學中要注重培養學業的轉化思想。

1.在立體幾何定理的教學中，培養學生的轉化意識

立體幾何中許多定理和性質都體現了線面關系轉化為線線關系，面面關系轉化為線面關系。例如，我們學習直線與平面垂直的判定定理：要判定直線與平面垂直，只要通過判定直線與這平面內兩條相交直線垂直，把直線與平面關系轉化為直線與直線的關系。

2.在引導學生分析，解決立體幾何問題的過程中，培養學生把空間問題轉化為平面問題

空間圖形的主要元素往往可集中在某一特征平面上，把這一特征平面分離出來，畫成原形，作為空間圖形的一個“特寫鏡頭”，將焦點都集中到這個鏡頭上，用平面幾何的方法去分析研究，可使問題很快得到解決

例3：α-EF-β是120°的二面角，從其內的一點P分別作PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA=3，PB=1，求點P到棱EF的距離。

分析：（1）先作出這個距離，過PA、PB作平面交EF于C，則PC⊥EF，所以PC是P到EF的距離（如圖3），可證∠ACB是二面角α-EF-β的平面角，即∠ACB=120°，主要元素都集中在平面PAB上，把它分離出來，畫出原形（如圖4）。

（2）問題轉化為平面四邊形PACB中的一個平面幾何問題了，易證P，A，C，B四點共圓，PC可看出△PAB外接圓的直徑，由余弦定理得：AB==，由正弦定理得PC==。

空間圖形的主要元素往往集中在某一特征平面上，如旋轉體的軸截面或側面展開圖，正棱錐的直角三解形，正棱臺的直解梯形，都包含它們的主要元素，把特征平面分離出來，作為“特寫鏡頭”，重點去分析研究，即轉化為平面幾何問題解決。

3.求體積教學中，培養學生等體轉化意識。

求距離或體積等問題，利用三棱錐體積自等或等底等高的幾何體等積進行轉化。

例4：正方體AC1中，E、F是BB1，CD中點，設AA1=2，求三棱錐體積VF-A1ED1。

四、割補意識

“割與補”這種重要的數學思想方法，是把不便于計算的幾何體通過割或補的技巧轉化為規則的，便于研究或計算的幾何體。

五、垂線意識

垂直關系又是各種位置關系的核心，垂直關系與角和距離的求解以及面積、體積的計算等有著非常密切的聯系。許多立幾問題的“題眼”往往都在于垂直關系。找到或作出平面的垂線，解題思路就變得清晰。因此，在教學中要處處培養學生的垂線意識。

分析（2）：AB⊥BD且平面ABD⊥平面BCD∴AB⊥平面BCD

過B作BH⊥EC于H，連結AB，則BH是AH在面BCD上射影，∠AHB是二面角A—CE—B的平面角。

注：（2）中關鍵尋找到AB是面BCD的垂線，作出CE的垂線BH。

在新課程的知識體系中，立體幾何是高中數學的重要內容之一，它對學生空間概念的建立、空間思維能力的形成和想象力的發展起著重要作用。因此，在立體幾何教學中要重視培養學生的幾種意識，有利于學生掌握學習技巧和規律。

（作者單位：浙江省松陽縣第一中學）