體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的“類比”

【摘 要】在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽地類比猜想，并幫助學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)縝密地證明類比歸納出的正確結(jié)論，讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力。本文結(jié)合教材中的實(shí)例和生活中的實(shí)例談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中的“類比”。

【關(guān)鍵詞】體驗(yàn)類比；類比思想的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”在具體解決問(wèn)題的過(guò)程中，類比推理這一思維方法有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽地類比猜想，并幫助學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)縝密地證明類比歸納的正確結(jié)論，讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘。

一、體驗(yàn)教材中的類比

天文學(xué)家開卜勒曾說(shuō)過(guò)：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的。”數(shù)學(xué)家拉普拉斯也說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”在我們的數(shù)學(xué)課本中同樣也處處可感悟到類比的奇妙。

（一）由“類比”導(dǎo)入新課

用類比法引入新知識(shí)，可使學(xué)生更好地理解新知識(shí)的內(nèi)涵與外延。在高中數(shù)學(xué)中，可通過(guò)類比引入的新課十分多。例如，我們?cè)谛率谔K教版必修3的幾何概型時(shí)，當(dāng)教師首次將幾何概型的模型給出時(shí)，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為古典概型，教師稍作點(diǎn)撥后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然每個(gè)基本事件的發(fā)生具有等可能性，但試驗(yàn)中的基本事件有無(wú)限多個(gè)，類比古典概型的概率公式P（A）=，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)m，n→+∞，也就沒(méi)法計(jì)算概率了，所以我們要尋求一種新的測(cè)度來(lái)求幾何概型的概率，這樣就很自然地引出了新課，學(xué)生會(huì)饒有興趣地去尋求新的辦法解決幾何概型的概率問(wèn)題。這樣，也很自然地將知識(shí)建構(gòu)的主動(dòng)權(quán)給了學(xué)生，能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

（二）由“類比”新授知識(shí)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，激發(fā)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和潛能，讓學(xué)生成為知識(shí)的占有者和探索者。在實(shí)際的教學(xué)中能體現(xiàn)這一新精神的方法很多，其中類比法特別受學(xué)生的青睞。在圓錐曲線教學(xué)中，雙曲線新課教學(xué)可與剛學(xué)過(guò)的橢圓知識(shí)進(jìn)行類比。在蘇教版必修5的數(shù)列教學(xué)中，每研究一個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題基本上都是類比等差數(shù)列進(jìn)行的。先是類比等差數(shù)列研究最基本的通項(xiàng)公式和求和公式，再是類比研究一些重要性質(zhì)。

其實(shí)，在數(shù)學(xué)教材中，很多新知識(shí)都是在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，因而在這些新知識(shí)中多少都會(huì)帶有舊知識(shí)的影子。在授課時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行回憶、類比，給學(xué)生創(chuàng)造思維的環(huán)境。可以使學(xué)生猜想出新授知識(shí)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究思想與方法。激發(fā)學(xué)生的積極性，變被動(dòng)聽為主動(dòng)學(xué)。

（三）由“類比”靈活解決新問(wèn)題

在高三的復(fù)習(xí)中學(xué)生遇到過(guò)這樣的問(wèn)題：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an+an-1=（）n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，求3Sn-an·2n+1。大部分學(xué)生都對(duì)該問(wèn)題束手無(wú)策，但是假如學(xué)生能類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法（錯(cuò)位相加法）得到以下兩個(gè)式子：

Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n；

2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1

兩式相加就很快解出答案是n+1。

二、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)生活中的類比

在一次研究性學(xué)習(xí)中，一學(xué)生舉了一個(gè)有趣的例子：自然界有很多小動(dòng)物受到外界的攻擊時(shí)，都會(huì)縮成一團(tuán)（盡量縮成球狀），包括人，受到外界攻擊時(shí)，本能反應(yīng)也會(huì)抱頭一縮，他問(wèn)誰(shuí)能解釋一下這一自然現(xiàn)象。頓時(shí)教室里鴉雀無(wú)聲，大家對(duì)這位同學(xué)的這個(gè)問(wèn)題覺得很好奇。生活中確實(shí)見過(guò)不少例子，比如毛毛蟲、刺猬等小動(dòng)物，去動(dòng)動(dòng)它們，它們立馬縮成一團(tuán)，可除了生物學(xué)家，誰(shuí)知道里面的奧妙呢？這位學(xué)生將他將他的學(xué)習(xí)成果用實(shí)物投影展示出來(lái)。他說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)用同一根繩子在草地上圍一塊正三角形草坪、正方形草坪、圓形草坪，哪塊的面積最大？哪塊最小？”大家都知道圓面積最大，三角形面積最小。這位學(xué)生提出新的問(wèn)題：請(qǐng)問(wèn)表面積相等的正四面體、正方形、球誰(shuí)的體積誰(shuí)最大？誰(shuí)最小？類比平面知識(shí)大家發(fā)現(xiàn)：若表面積為定值a，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，球的體積最小。將上述知識(shí)聯(lián)系生活實(shí)例，終于發(fā)現(xiàn)：小動(dòng)物受到攻擊時(shí)縮成一團(tuán)，可以盡量減小自己的體積。這樣就減少被攻擊的可能，太神奇了！這位學(xué)生從一個(gè)平面幾何結(jié)論類比到了立幾中的三個(gè)表面積相等的幾何體的體積大小關(guān)系，還將知識(shí)與自然界的生物現(xiàn)象聯(lián)系起來(lái)。事實(shí)上，生活中的一些重要理論，最初都是通過(guò)類比推理提出的，科學(xué)家的重大發(fā)現(xiàn)，最初也是通過(guò)類比推理提出的。惠更斯提出的波動(dòng)說(shuō)，這是與水波、聲波類比而受到的啟發(fā)。魯班從樹葉的鋸齒形狀發(fā)明了鋸子，從風(fēng)箏的飛起類比到飛機(jī)上天等等。

三、類比思想的培養(yǎng)

運(yùn)用類比推理去研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維。類比得到的命題不一定是真命題，帶有猜測(cè)的性質(zhì)，盡管類比出的結(jié)論不一定真實(shí)，但它畢竟是學(xué)生思考過(guò)程的體現(xiàn)，可以幫助學(xué)生尋到解決問(wèn)題的方法和途徑。因此我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，我們將類比思想滲透于教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，一定要以學(xué)生為主，要肯定學(xué)生，不要一味追究類比猜想的結(jié)論的真假。例如在學(xué)等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生由結(jié)論“若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等差數(shù)列。”類比得出結(jié)論“若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等比數(shù)列。”的時(shí)候，教師可以通過(guò)舉反例“1，-1，1，-1，…”來(lái)說(shuō)明這里的Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）可能為零。

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[4]新世紀(jì)教師教育叢書——教育新理念

[5]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（作者單位：江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）