細(xì)觀察 巧分析 妙解答

細(xì)觀察 巧分析 妙解答

伴隨著新課程的成長，我與新課程一同走進(jìn)了基本不等式（均值不等式），就基本不等式的應(yīng)用——求最值，經(jīng)過我對教材的斟酌，認(rèn)識了基本不等式不僅具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式” 轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，而且求最值的應(yīng)用更為廣泛，尤其是在其應(yīng)用的過程中創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件（即：一正二定三相等），合理變形（即：通過拆分相或配湊因式）的解題技巧顯得至關(guān)重要。通過具體的例子體現(xiàn)技巧，作如下總結(jié)：

一、直接法

例1：求函數(shù)y=x+（x>0）的最小值

解：∵x>0，∴>0

∴y=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=1時，“=”成立

∴當(dāng)x=1時，ymin=2

二、變負(fù)為正法

例2：求函數(shù)y=x+（x<0）的最大值

解：∵x<0∴-x>0

∴-y=-（x+）=-x+≥2=2

故y≤-2 當(dāng)且僅當(dāng)-x=即x=-1時，“=”成立

∴當(dāng)x=-1時，ymax=-2

三、添相法

例3：已知x>2，求y=x+（x>2）的最小值

解：∵x>2∴x-2>0

∴y=x+=（x-2）++2≥2+2=4

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=即x=3時，“=”成立

當(dāng)x=3時，ymin=4

四、拆相法

例4：已知x>0求函數(shù)y=4x2+的最小值

解：∵x>0，∴y=4x2+=4x2++≥3=3

當(dāng)且僅當(dāng)4x2=即x=時，“=”成立

當(dāng)x=時，ymin=3

五、配系數(shù)法

例5：已知0

解：∵0

∴y=x（3-2x）=.2（3-2x）≤.[]2=

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x即x=時，“=”成立

當(dāng)x=時，ymin=

六、y=x+（k>0）型

例6：已知x>-1求函數(shù)y=的最小值

解：∵x>-1，∴x+1>0

∴y==x+1+≥2=2

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=0時，“=”成立

當(dāng)x=0時，ymin=2

七、換元法

例7：求函數(shù)y=的最小值

解：y===+

令t=（t≥）則原函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)y=t+（t≥）

此函數(shù)y=t+在區(qū)間[1，+∞）上遞增，當(dāng)t=時，y=t+取得最小值為

當(dāng)t=即x=0時，ymin=

八、“1”的代換

內(nèi)容1：已知x，y，a，b∈R+，且+=1，則x+y≥（+）

證明：∵x，y，a，b∈R+，∴>0，>0

∴x+y=（x+y）·1=（x+y）（+）=a+b++

≥a+b+2=a+b+2=（+）

當(dāng)且僅當(dāng)=時，“=”成立，又+=1

∴當(dāng)x=a+，y=b+時，（x+y）min=（+）

內(nèi)容2：已知x，y，a，b∈R+，且ax+by=1，則+≥（+）

證明：∵x，y，a，b∈R+，∴ax>0，by>0

∴+=（+）·1+（+）·（ax+by）=a+b++≥a+b+2=a+b+2=（+）

當(dāng)且僅當(dāng)=時“=”成立，又ax+by=1

∴當(dāng)x=，y=時，（+）min=（+）

（作者單位：陜西省洛川縣延安第一中學(xué)）