結合例子談初中數學幾何證明的幾種常見錯誤

一、漏條件

有些學生誤以為漏條件是粗心使然，其實漏條件暴露的問題是學生對定理的已知和結論理解不夠到位造成的。

如三線合一，即等腰三角形底邊上的中線，底邊上的高和頂角平分線互相重合，簡稱三線合一。

學生錯誤：∵AB=AC∴AD⊥BC

錯誤分析：學生認為只要是等腰三角形就可推三線合一，故認為已知條件是等腰三角形，其實三線合一的已知條件應該是等腰加一線成立

再如角平分線上的點到角的兩邊距離相等。

學生錯誤：∵OD是∠AOB的平分線∴DE=DF

錯誤分析：何謂點到角兩邊的距離？學生沒搞清楚點到線的距離是什么，自然不知道還需要垂直條件DE⊥OA于E，DF⊥OB于F

二、濫用逆定理

雖然老師一再的重申中考所用的定理均須出自課本黑體字，但學生在證明中總能派生出林林總總千奇百怪的綱外定理，其中以濫造課本定理的逆定理首當其沖。

如三線合一推等腰三角形，三角形中若有一邊等于另一條邊的一半則這個三角形是直角三角形且有一角等于30度，一邊中點加平行推得中位線，三角形一邊上中線等于該邊一半則這個三角形是直角三角形等等，這其中不乏真命題，但也有假命題。錯誤分析：就算是真命題也不等同于定理公理，考試時要用就得先證明才能用，假命題更不能用。

三、過多的輔助線條件

我常常看見學生做這樣的輔助線，連結AB使AB=CD或者過三角形某頂點作對邊的中垂線等等，看著學生們作這樣的輔助線我常?？扌Σ坏?，實際上學生對于做輔助線的目的及作法都不是很了解，而教材中也沒有單獨的一章專門講解輔助線，所以關于輔助線我們都是需要時才講起，而學生只是了解個大概，認為輔助線就是用“作”出來的，而忽略了考慮所做輔助線的存在性，即輔助線只能保證一個條件，若要得其他條件需通過證明得到。

四、全等不對應

學生們對全等十分青睞，我常笑說全等就是他們的“萬金油”。在一些不需要證明全等但仍可利用全等證明的幾何題中，往往有一些思維不夠靈活的學生仍然選擇用一次或多次全等把題目做對，比起不用全等的同學他們只是多繞些路罷了，即然是對的而數學講究一題多解我們也不與其深究非得要怎么做。但在一些不能用全等的題目中，也用全等就出問題了。

例如（2011.西寧）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥CA，AE∥BD.（1）求證：四邊形AODE是菱形；

學生錯誤：

∵DE∥CA，AE∥BD

∴∠EDA=∠DAO，∠EAD=∠ADO

又∵AD=AD

∴△AED≌△DOA

∴AE=AO

又∵DE∥CA，AE∥BD

∴四邊形AODE是平行四邊形

∴四邊形AODE是菱形

錯誤分析：這樣做的學生對全等的理解只限于找三個條件，而忽略了“對應”的重要性，△AED≌△DOA中，AE對應的是OD還是AO沒有弄明白。只是一味地認為全等后便有邊相等了。

（作者單位：福建省廈門市大同中學）