運用解題教學切入 培養學生思維能力

在數學課堂教學中，如果只重視知識的傳授，而忽視思維能力的培養，學生在學習的過程中往往會感到枯燥乏味，從而喪失數學學習的興趣。因此，在數學解題教學中，若能對教材巧安排，對問題妙引導，從一些關鍵處切入，創設良好的思維情境，變“傳授”為“探究”，促使學生進入思維活躍狀態中，以探索者的身份去發現問題、總結規律，對學生的思維、訓練是非常有益的。下面談談我的體會。

一、從無序處切入，培養學生思維的邏輯性

因中學生年齡特點及知識水平的限制，思維表現出一定的無序性，這就需要教師按思考成熟的方法講解，讓學生逐步地學會怎樣分析、判斷、推理，怎樣解決問題，并且隨時監控學生的思維過程，適時引導，適當變式訓練，變無序為有序，變偶然為必然，以形成思維的“模塊”，達到提高學生的邏輯思維水平和認知能力的目的。

例1：如圖1，AB//CD，點E在AB、CD之間，求證：∠BED=∠B+∠D。

這雖然是一道較簡單的證明題，但涉及到作輔助線，而這是初學平面幾何的一大難關，學生面對此題，往往會無從下手，思維處于無序狀態。這時，教師就要利用“執因導果”和“執果索因”的思維方式進行巧妙引導：從已知條件AB//CD可推知同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，∠B和∠D屬于哪種關系？如果不屬于以上關系，那么怎樣添加輔助線才能將∠BED、∠B、∠D聯系起來？通過切入引導，學生的思維由無序轉向有序，很自然地得到“過點E作EF//AB”這一結論來。具體證明過程如下：

證明：過點E作EF//AB

∵AB//CD

∴AB//CD//EF

∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D

∴∠BED=∠B+∠D

二、從淺顯處切入，培養學生思維的抽象性

解決一個具體問題后，多數學生的認知水平仍停留在就題論題的階段，缺乏深入的思考，難以形成較強大的分析、解決問題的能力，這就需要我們在更具代表性的問題上進行探索、研究，引導學生去辨析、質疑，幫助他們全面思考，深刻理解和把握問題的本質及規律，培養思維的深刻性和抽象性。

例2：如圖2，AB、CD相交于O點，AC//BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF

求證：CE=DF。

這道題思路較簡單，是利用全等三角形的性質進行證明的一道典型例題，教師可將這道題進行變化，產生多種形式的題目。

變式一：將“求證CE=DF”換成“要使CE與DF有何關系，并加以證明”，學生通過思考可能得出“CE=DF，CE//DF”。

變式二：把原題的已知條件“AE=BF”去掉，換成“要使CE=DF成立，應再加一個什么條件？”學生通過思考可以找到“OE=OF或∠BDF=∠ACE”。

通過這樣一題多變，讓學生體驗到它們之間的“形變而質不變”的內在本質特征，領悟出此題型的解題規律，就能增強學生舉一反三、觸類旁通的解題能力，從而培養學生思維的深刻性和抽象性。

三、從發散處切入，培養學生思維的綜合性

在學生掌握了一定的分析問題的方法后，教師就要用典型、生動的事例激發他們的“求異動機”，有意識地安排一些靈活多變的練習，引導他們從不同角度、方法探索思路，做到一題多解，提高解綜合題的能力。

例3：如圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC，

求證：BD：CD=AB：AC。

先引導學生進行思路分析：

思路一：用平行線分線段成比例定理的推論證明，過B、D、C三點中的一點作平行線，一般學生都選用此種證明方法。

思路二：從三角形相似考慮，可構造與△ABC相似的三角形，由∠BAD=∠CAD再作∠ACE=∠B，交AD（或延長線）于E，則△ABD∽△CAE，可得BD：CE=AB：AC，再由∠CED=∠CAD+∠ACE=∠BAD+∠B=∠CDE得CE=CD，所以，可證明BD：CD=AB：AC。

通過一題多解的訓練，能夠幫助學生從多角度運用數學知識的能力。不僅拓展了學生的解題思路，而且培養了他們的創新意識，開拓了發散思維的空間，訓練了思維的靈活性與綜合性。

四、從偶然處切入，培養學生思維的創新性

面對一個情境陌生的問題，學生思維無拘無束，有時會迸發出一點“火花”，或是一種新理念、思維，或是某種奇思特解（盡管不一定完美），教師都應對這種“靈感”給予肯定和表揚，引導學生大膽地發表自己的新見解，提高解決問題的能力，增強探索和創新的能力。

例4：已知a、b、c、d為正數，且a2+b2=c2+d2，ac=bd。

求證：a=d，b=c。

此題若用代數方法解決較繁瑣，教學中，可引導學生對題目中的已知條件進行猜想，往往會有少數學生發現a2+b2=c2+d2似乎與勾股定理的形式相近，這時要抓住這一偶然的“火花”，鼓勵他們去嘗試探索，構造出含有直角三角形的幾何圖形，將代數問題轉化成幾何問題，用直觀形象化的幾何性質尋求解題方法，得到一個新穎的證明方法。

證明：由題設，可作RT△ABC和RT△ADC，使∠B=∠D=90。

BC=a，AB=b，AD=c（如圖4所示）

∵ac=bd，即BC·AD=AB·CD

∴BC：CD=AB：AD，故Rt△ABC∽Rt△ADC，又∵AC為公共邊，故Rt△ABC≌Rt△ADC。

∴BC=CD，AB=AD，即a=d，b=c。

以上是我在解題教學中抓住題目的一些關鍵處作為切入點，培養學生思維品質的一些探討。當然，運用解題教學切入，培養學生思維能力的方法是多角度、多層次的，以上只是管窺蠡測而已，不當之處，請方家批評指正。

（作者單位：廣東省英德市九龍中學）