應(yīng)用向量法證明不等式

【摘 要】利用向量的理論和方法，可以有效地解決幾何、代數(shù)、三角、復(fù)數(shù)以及物理學(xué)中諸如力、速度、加速度等許多問題，也為數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際開拓了新的途徑。向量還充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，為學(xué)生的“數(shù)學(xué)建模”研討性學(xué)習(xí)創(chuàng)造了有利條件。本文就構(gòu)造向量，利用向量的知識(shí)證明某些不等式，作一些探討，以便溝通新概念，新方法與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系。

【關(guān)健詞】向量；構(gòu)造向量；證明不等式

一、向量的概念和性質(zhì)

規(guī)定了方向和大小的量稱為向量。向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)。很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓。我們知道，位移是既有大小又有方向的量。

向量的性質(zhì)常見于教材的習(xí)題中，但其應(yīng)用是教材的薄弱內(nèi)容。為了對(duì)向量性質(zhì)的認(rèn)識(shí)我們對(duì)以下的向量知識(shí)更加深一層的探討，以加深對(duì)向量知識(shí)的理解和掌握。

二、構(gòu)造向量

構(gòu)造向量法解題是針對(duì)一些特殊題型而言的，對(duì)給定的

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，只有對(duì)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了認(rèn)真的研究、觀察、確認(rèn)和向量具有某些聯(lián)系，才能用構(gòu)造法來解。利用向量證明不等式，其關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)南蛄浚饕袃煞N方式：一是直接構(gòu)造，二是變形構(gòu)造，下面加以介紹。

（一）直接構(gòu)造是指直接構(gòu)造或或?yàn)椴坏仁降囊贿叄倮貌坏汝P(guān)系式等即可解決。

（二）變形構(gòu)造是指先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變換，再構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄縼斫鉀Q。

巧妙構(gòu)造向量，從思想方法上研究其內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，修整原有認(rèn)知，用向量的觀點(diǎn)研究相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問題的意識(shí)，是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的極佳契機(jī)。

三、應(yīng)用向量證明不等式

在有些問題中，適當(dāng)?shù)貥?gòu)造向量模型不僅有助于問題的解決，而且有時(shí)比別的方法更簡(jiǎn)捷.除了上面所列的性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)造向量，我們還可椐為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)造向量去解決不同的數(shù)學(xué)問題，從而便使問題簡(jiǎn)潔化.利用向量的基本性質(zhì)、基本運(yùn)算證一些不等式比通常使用的方法有其獨(dú)到的妙處。

3.1利用向量模的性質(zhì)證明不等式

為了證明不等式與向量知識(shí)聯(lián)系起來，我們須明白不等式的結(jié)構(gòu)，從而選擇向量的知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)造向量使向量應(yīng)用到證明不等式的問題上。我們可以利用他們向量模的性質(zhì)證明不等式。

3.2利用向量?jī)?nèi)積證明不等式

利用向量具有一系列“良好”的運(yùn)算性質(zhì)，變抽象的邏輯推理為具體的向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合。所以在利用向量證明不等式時(shí)，是巧妙構(gòu)造出向量模型，把向量跟不等式緊密聯(lián)系起來，使向量簡(jiǎn)捷地證明不等式。

（作者單位：廣東省惠州農(nóng)業(yè)學(xué)校）