淺談不定積分的常見解法

【摘 要】不定積分的解題方法很多，很多同學看到題目時總會在選用方法上大費腦筋，本文主要簡單的介紹幾種最常見的利用湊微分法和分部積分法解題的類型。

【關鍵詞】不定積分；湊微分法；分部積分法

不定積分針對不同的題型有不同的解法，本次主要講解不定積分中的湊微分法和分部積分法。

一、湊微分法

一般型如的不定積分常用湊微分法解題。（注：其中a、b、c為常數，f（x）為一次函數）

1、型

首先令u=f（x），根據du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關系，從而將型轉換成型，再利用公式求出，最后將u=f（x）回代得

例題1：求不定積分：

解：令u=3x+5，則du=u'dx=（3x+5）'dx=3dx，即

∴ 原式=

2、型

首先令u=f（x），根據du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關系，從而將型轉換成型，再利用公式，最后將u=f（x）回代得

例題2：求不定積分：

解：令u=4x+5，則du=u'dx=（4x+5）'dx=4dx，即

∴ 原式=

3、型

首先令u=f（x），根據du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關系，從而將型轉換成型，再利用公式，最后將回代得

例題3：求不定積分：

解：令u=5x+4，則du=u'dx=（5x+4）'dx=5dx，即

∴ 原式=

4、型

首先令u=f（x），根據du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關系，從而將型轉換成型，再利用公式求出，最后將u=f（x）回代得、

例題4：求不定積分：

解：令u=2x+1，則du=u'dx=（2x+1）'dx=2dx，即

∴ 原式=

例題5：求不定積分：

解：令u=3x+1，則du=u'dx=（3x+1）'dx=3dx，即

∴ 原式=

二、分部積分法

一般形如：，的不定積分常用分部積分法求解。

1、型

首先將exdx湊成d（ex），將∫f（x）exdx變為∫f（x）d（ex）型，再利用公式求解。

例4：

解：原式

2、型

首先將sinxdx、cosxdx湊成-d（cosx）、d（sinx），將、變為型，再利用公式求解。

例5：

解：原式=

例6：

解：原式=

3、型

首先求導數為f（x）的原函數F（x），將f（x）dx湊成d[F（x）]，再將變為型，最后利用公式求解。

例7：

解：原式

以上只是幾種最常見的可用湊微分法和分部積分法的例子，在下一次的學習中我們將介紹稍微復雜一些同樣也可以用這兩種方法求解的例題。

【參考文獻】

[1]同濟大學教研室主編.高等數學（第五版）.北京：高等教育出版社，第五版

[2]瞿正良主編.高等應用數學簡明教程.大連：大連理工大學出版社，2010

[3]楊軍強主編.大學應用數學基礎.長沙：湖南人民出版社，2010

[4]劉浩榮，郭景德等主編.高等數學（第四版）.上海：同濟大學出版社，2009

[5]何春江主編.高等數學（第二版）.北京：水利水電出版社，2006

[6]劉萍，陳翔英.高等數學.北京：中國電力出版社，2012

（作者單位：云南工程職業學院）